Garben/Gruppen/Homomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ die Abbildung

$\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beispiel

Zu einem stetigen Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon F\rightarrow G$ zwischen topologischen Gruppen ${}F$ und ${}G$ wird auf jedem topologischen Raum ${}X$ ein Homomorphismus von Garben von Gruppen festgelegt, indem auf jeder offenen Teilmenge ${}U$ die Zuordnung

$C^{0}(U,F)\longrightarrow C^{0}(U,G),\,f\longmapsto \varphi \circ f,$

betrachtet wird.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch

${}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}\,$

definierte Untergarbe von ${}{\mathcal {F}}$ die Kerngarbe zu ${}\varphi$.

Es handelt sich dabei genauer um eine Untergarbe von kommutativen Gruppen, d.h. für jede offene Teilmenge liegt eine Untergruppe von ${}{\mathcal {F}}$ vor, siehe Aufgabe.