Garbenkohomologie/Rechtsabgeleiteter Funktor/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man den rechtsabgeleiteten Funktor zum globalen Auswertungsfunktor ${}\Gamma (X,-)$ die ${}n$-te Garbenkohomologie von ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$. Sie wird mit

${}H^{n}(X,{\mathcal {G}}):=R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {G}})\,$

bezeichnet.

Korollar

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.

1. Die ${}H^{n}(X,-)$ sind (für jedes ${}n\in \mathbb {N}$) additive Funktoren von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.
2. Es liegt ein natürlicher Isomorphismus ${}H^{0}(X,{\mathcal {G}})\cong \Gamma (X,{\mathcal {G}})$ vor.
3. Zu einer kurzen exakten Garbensequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   gibt es eine lange exakte Kohomologiesequenz

   $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {H}})\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow \ldots .$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Es ist im Allgemeinen schwierig, Kohomologiegruppen zu berechnen. Wir listen einige grundsätzliche Berechnungsmöglichkeiten auf.

1. Verschwindungssätze: Man zeigt, dass für gewisse Räume, gewisse Garben und gewisse Indizes die Kohomologiegruppen ${}0$ sind. Wenn in der langen exakten Kohomologiesequenz an gewissen Stellen eine ${}0$ steht, so bedeutet dies, dass zuvor eine surjektive Abbildung und danach eine injektive Abbildung steht.
2. Statt mit injektiven Garben kann man mit anderen azyklischen (beispielsweise welken) Garben arbeiten.
3. Interpretation von ${}H^{1}$ als klassifizierende Gruppe für gewisse geometrische Objekte (Picardgruppe).
4. Wenn die Garben Moduln auf einem beringten Raum sind, so besitzen auch die Kohomologiegruppen die Struktur von Moduln über dem globalen Schnittring ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ (siehe Fakt). Wenn dieser ein Körper ist (was insbesondere für zusammenhängende projektive Varietäten der Fall ist), so sind die Kohomologiegruppen sogar Vektorräume. Im endlichdimensionalen Fall sind die Dimensionen wichtige Invarianten.
5. Vergleich der Kohomologie auf ${}X$ mit der Kohomologie auf einer offenen Teilmenge.
6. Vergleich mit anderen Kohomologietheorien: Čech-Kohomologie, singuläre Kohomologie, simpliziale Kohomologie.