Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und

$M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,$

der Graph von ${}\psi$. Zeige, dass ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit ist und dass für die kanonische Volumenform ${}\omega$ auf ${}M$ die Formel

${}(\operatorname {Id} \times \psi )^{*}(\omega )={\left(1+\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

gilt.

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