Es sei
.
Die Abbildung
-
ist ein
Diffeomorphismus
zwischen und dem Graphen . Der Graph ist eine
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
von und trägt daher die
induzierte riemannsche Struktur
und
(da sich die Orientierung von auf überträgt)
eine
kanonische Volumenform
. Auf diese Situation kann man
Fakt
anwenden. Die
partiellen Ableitungen
von nach der -ten Variablen sind
-
Es sei
ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge der Matrix bilden
(von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen),
sind gleich
-
Wir schreiben
mit
.
Mit
können wir
und insgesamt die Matrix als
-
schreiben. Daher beschreibt eine lineare Abbildung von nach , die durch
faktorisiert,
und besitzt damit einen
Kern,
der zumindest -dimensional ist. Nennen wir ihn . Wenn er die Dimension besitzt, so ist
und ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also
.
Dann ist
ein
Eigenvektor
von zum
Eigenwert
.
Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert und bildet den -dimensionalen
Eigenraum
für zum Eigenwert . Insgesamt ist
diagonalisierbar
und ihre
Determinante
ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich
.