Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Textabschnitt

Satz

Es seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi :G\to Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

$\mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

$\tilde{\phi }:Q⟶H$

derart, dass  $\phi =\tilde{\phi }\circ \psi$  ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

$\begin{array}{cccc}G& \stackrel{\phi }{⟶}& H& \\ \psi \downarrow & \nearrow \tilde{\phi }& \\ Q& & & & \end{array}$

ist kommutativ.

Beweis

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element  $u\in Q$  gibt es mindestens ein $g\in G$ mit $\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

$\tilde{\phi }(u)=\phi (g)$

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein $\tilde{\phi }$ geben kann.
Wir müssen zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also  $g,g^{\prime }\in G$  zwei Urbilder von $u$. Dann ist

$\psi \left(g^{\prime }{g}^{-1}\right)=u{u}^{-1}=e_Q$

und somit ist  $g^{\prime }{g}^{-1}\in \mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$.  Daher ist  $\phi (g)=\phi (g^{\prime })$.  Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien  $u,v\in Q$  und seien  $g,h\in G$  Urbilder davon. Dann ist $gh$ ein Urbild von $uv$ und daher ist

$\tilde{\phi }(uv)=\phi (gh)=\phi (g)\phi (h)=\tilde{\phi }(u)\tilde{\phi }(v).$

D.h. $\tilde{\phi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

$◻$

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

Korollar

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

$\tilde{\phi }:G/\mathrm{kern}\phi ⟶H.$

Beweis

Wir wenden Fakt auf  $Q=G/\mathrm{kern}\phi$  und die kanonische Projektion $q:G\to G/\mathrm{kern}\phi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

$\tilde{\phi }:G/\mathrm{kern}\phi ⟶H$

mit  $\phi =\tilde{\phi }\circ q$,  der surjektiv ist. Es sei $[x]\in G/\mathrm{kern}\phi$ und $[x]\in \mathrm{kern}\tilde{\phi }$. Dann ist

$\tilde{\phi }([x])=\phi (x)=e_H,$

also  $x\in \mathrm{kern}\phi$.  Damit ist  $[x]=e_Q$,  d.h. der Kern von $\tilde{\phi }$ ist trivial und nach Fakt ist $\tilde{\phi }$ auch injektiv.

$◻$

Satz

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$G\stackrel{q}{⟶}G/\mathrm{kern}\phi \stackrel{\theta }{⟶}\mathrm{bild}\phi \stackrel{\iota }{\hookrightarrow }H,$

wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Gruppenisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die Bildgruppe  $U=\mathrm{bild}\phi \subseteq H$. 

$◻$

Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild $=$ Urbild modulo Kern.