Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein reelles Intervall und sei

eine Riemann-integrierbare Funktion und . Dann heißt die Funktion

die Integralfunktion zu zum Startpunkt .

Man spricht auch von der Flächenfunktion oder einem unbestimmten Integral.

Das im Satz ist das in der Animation, und im Satz ist das wandernde in der Animation. Der wandernde Punkt in der Animation ist ein Punkt, wie er im Mittelwertsatz der Integralrechnung auftritt.


Die folgende Aussage heißt Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.



Satz  

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion.

Dann ist differenzierbar und es gilt

für alle .

Beweis  

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem einVorlage:Zusatz/zusatz1 mit

und damit ist

Für konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen .