Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Funktionenmenge ${}T$ lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder ${}f(P)$, ${}f\in T$, beschränkt in ${}{\mathbb {C} }$. Wir möchten Fakt anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei ${}P\in U$ und sei ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ derart, dass die Funktionenfamilie auf ${}U{\left(P,s\right)}$ durch die Konstante ${}C$ beschränkt sei. Es sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung um ${}P$ mit dem Radius ${}r$. Dann gelten für ${}Q\in U{\left(P,r\right)}$ nach Fakt, Fakt und Fakt die von ${}f$ unabhängigen Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {f(Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}dz-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}-{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)(Q-P)}{(z-Q)(z-P)}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\cdot 2\pi r\cdot C{\frac {1}{r-\vert {P-Q}\vert }}\\&={\frac {C}{r-\vert {P-Q}\vert }}\vert {Q-P}\vert .\end{aligned}}$

Zu gegebenem ${}r>\epsilon >0$ kann man dann mit

${}\delta :=\operatorname {min} \left({\frac {r}{2C}}\epsilon ,\,{\frac {r}{2}}\right)\,$

die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.

Für die Rückrichtung siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage