Hopf-Algebra/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring. Eine kommutative -Algebra heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte -Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)

und

gibt, derart, dass die Diagramme


und

kommutieren.


Beispiel  

Es sei eine endliche Gruppe und ein kommutativer Ring. Wir setzen

mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von sind. Wir definieren auf eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation

führt zur Abbildung

wodurch wir die Komultiplikation

festlegen. Das Basiselement zu wird dabei auf

abgebildet. Das neutrale Element induziert die Auswertungsabbildung

und die Inversenbildung

führt zu

wobei das Basiselement auf abgebildet wird. Die Abbildungen sind offenbar -Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

erklärt. Die Koeinheit wird durch

festgelegt und das

Koinverse ist durch

definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring. Auf kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

erklärt. Die Koeinheit wird durch

festgelegt und das

Koinverse ist durch

definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe nennt.



Beispiel  

Es sei eine kommutative Gruppe, ein kommutativer Ring und der zugehörige Gruppenring, also

Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als

die Koeinheit als

und das Koinverse als

ansetzt. Diese

-Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen , , und , , im Sinne von Fakt.


Die Konstruktion in Beispiel ist ein Spezialfall der Hopf-Algebrastruktur auf einem Gruppenring, nämlich für .