Hopf-Algebra/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative ${}K$-Algebra ${}H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${}K$-Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)

$\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$

$\epsilon \colon H\longrightarrow K$

und

$S\colon H\longrightarrow H$

gibt, derart, dass die Diagramme

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.

Beispiel

Es sei ${}(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und ${}K$ ein kommutativer Ring. Wir setzen

${}H:=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\,$

mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von ${}G$ sind. Wir definieren auf ${}H$ eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation

$\mu \colon G\times G\longrightarrow G$

führt zur Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\otimes \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(G\times G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \mu ,$

wodurch wir die Komultiplikation

$\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H$

festlegen. Das Basiselement ${}e_{\sigma }$ zu ${}\sigma \in G$ wird dabei auf

${}\sum _{\tau \cdot \rho =\sigma }e_{\tau }\otimes e_{\rho }=\sum _{\tau }e_{\tau }\otimes e_{\tau ^{-1}\cdot \sigma }\,$

abgebildet. Das neutrale Element ${}1\in G$ induziert die Auswertungsabbildung

$\epsilon \colon H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(1),$

und die Inversenbildung

$\operatorname {inv} \colon G\longrightarrow G,\,\sigma \longmapsto \sigma ^{-1},$

führt zu

$S\colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \operatorname {inv} ,$

wobei das Basiselement ${}e_{\sigma }$ auf ${}e_{\sigma ^{-1}}$ abgebildet wird. Die Abbildungen ${}\Delta ,\epsilon ,S$ sind offenbar ${}K$-Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor ${}\operatorname {Abb} \,{\left(-,K\right)}$ in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring ${}K[X]$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

$\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$

erklärt. Die Koeinheit wird durch

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$

festgelegt und das

Koinverse ist durch

$K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$

definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Auf ${}K[X,X^{-1}]\cong K[X]_{X}$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

$\Delta \colon K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}]\otimes _{K}K[X,X^{-1}]\cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}],\,X\longmapsto X\otimes 1\cdot 1\otimes X=X\cdot Y,$

erklärt. Die Koeinheit wird durch

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 1,$

festgelegt und das

Koinverse ist durch

$K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}],\,X\longmapsto X^{-1},$

definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe nennt.

Beispiel

Es sei ${}(D,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}K[D]$ der zugehörige Gruppenring, also

${}K[D]=\bigoplus _{d\in D}KX^{d}\,.$

Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als

$\Delta \colon K[D]\longrightarrow K[D]\otimes _{K}K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{d}\otimes X^{d},$

die Koeinheit als

$\epsilon \colon K[D]\longrightarrow K,\,X^{d}\longmapsto X^{0}=1,$

und das Koinverse als

$S\colon K[D]\longrightarrow K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{-d},$

ansetzt. Diese

${}K$-Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen ${}D\longrightarrow D\times D$, ${}d\longmapsto (d,d)$, ${}D\rightarrow 0$ und ${}D\longrightarrow D$, ${}d\longmapsto -d$, im Sinne von Fakt.

Die Konstruktion in Beispiel ist ein Spezialfall der Hopf-Algebrastruktur auf einem Gruppenring, nämlich für ${}D=\mathbb {Z}$.