Hyperfläche/Milnorzahl/Analytische Bedeutung/Einführung/Textabschnitt

Wir beschreiben ohne Beweise einige Hauptresulate zur analytischen und topologischen Bedeutung der Milnorzahl einer isolierten Hyperflächensingularität zu einer holomorphen Funktion.

Definition

Eine holomorphe Funktion ${}g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, heißt Morsefunktion, wenn sie keine ausgearteten kritischen Punkte besitzt und alle kritischen Werte nur einfach vorkommen.

Definition

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion. Unter einer Morsifikation von ${}f$ versteht man eine Entfaltung

$E\colon U\times V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen derart, dass außerhalb einer lebesgueschen Nullmenge von ${}V$ und für ${}w\neq 0$ gilt, dass ${}f_{w}$ eine Morsefunktion ist.

Der Deformationsraum ist also eindimensional und die deformierten Funktionen ${}f_{w}$ können zwar auch kritische Punkte haben, aber (zumindest fast überall) nur nichtausgeartete.

Beispiel

Neilsche Parabel/Morsifikation/Beispiel

Satz

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt ${}0\in U$.

Dann ist die Milnorzahl von ${}f$ im Nullpunkt gleich der Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte einer Morsifikation von ${}f$.

Beweis

Isolierte Hyperflächensingularität/Milnorzahl/Morsifikation/Fakt/Beweis

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