Hyperfläche/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, die wir auch also eine riemannsche Mannigfaltigkeit über den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt auffassen. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve und es sei ${}F\colon I\rightarrow TY\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}$ ein differenzierbares Vektorfeld längs ${}\gamma$. Zeige, dass ${}F$ genau dann parallel längs ${}\gamma$ im Sinne von Definition ist, wenn ${}F$ parallel längs ${}\gamma$ bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs

auf ${}TY$ ist.

Eine Lösung erstellen