Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt/Beweis

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Beweis

Durch Betrachten des positiven und des negativen Teils kann man die Behauptung auf den Fall von nichtnegativen Funktionen und nichtnegativen Zahlen zurückführen. Wir behandeln die Additivität und die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation getrennt. Nach Fakt gibt es wachsende Folgen bzw. von messbaren einfachen Funktionen, die punktweise gegen bzw. konvergieren. Dann konvergiert auch wachsend und punktweise gegen . Zwei einfache Funktionen und können wir bezüglich einer geeigneten (endlichen) Zerlegung , , von als und schreiben. Damit gilt (bei messbar)

und die Verträglichkeit mit der Summe gilt für einfache Funktionen.
Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz und Fakt gilt


Der Beweis für die skalare Multiplikation verläuft ähnlich, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage