Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

   $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a).$

2. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

   $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

   die zugehörige Integralfunktion. Dann ist ${}F$ differenzierbar

   und es gilt

   $F'(x)=f(x)$

   für alle ${}x\in I$.
3. Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung, so dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt

   $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$

4. Die lineare Abbildung ${}\varphi$ ist trigonalisierbar genau dann, wennd das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt.

Zur gelösten Aufgabe