Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die stetige Funktion ${}f$ ist auf dem kompakten Intervall ${}[a,b]$ beschränkt nach Fakt. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen ${}\epsilon >0$ eine untere und eine obere Treppenfunktion für ${}f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale ${}\leq \epsilon$ ist. Nach Fakt ist ${}f$ gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu ${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}$ ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}x,x'\in I$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Abschätzung ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon '$ gilt. Es sei nun ${}n\in \mathbb {N}$ so, dass ${}{\frac {b-a}{n}}\leq \delta$ ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten ${}a_{i}=a+i{\frac {b-a}{n}}$. Auf den Teilintervallen ${}[a_{i-1},a_{i}]$, ${}i=1,\ldots ,n$, ist der Abstand zwischen dem Maximum

$t_{i}={\max {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}$

und dem Minimum

$s_{i}={\min {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}$

kleiner/gleich ${}\epsilon '$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also

$t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}$

und

$s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}$

sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu ${}f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {b-a}{n}}-\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-s_{i}){\frac {b-a}{n}}\leq \sum _{i=1}^{n}\epsilon '{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\epsilon }{n}}=\epsilon \,.$

Zur gelösten Aufgabe