Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Die stetige Funktion ist auf dem kompakten Intervall beschränkt nach Fakt. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen eine untere und eine obere Treppenfunktion für anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale ist. Nach Fakt ist gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu ein derart, dass für alle  mit die Abschätzung gilt. Sei nun so, dass ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten . Auf den Teilintervallen , , ist der Abstand zwischen dem Maximum

und dem Minimum

kleiner/gleich . Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also

und

sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu . Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann

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