Invertierbare Matrix/Körper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

die inverse Matrix von ${}M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Beispiel

Eine Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

ist genau dann invertierbar, wenn sämtliche Diagonaleinträge von ${}0$ verschieden sind. Die inverse Matrix dazu ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{d_{11}}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {1}{d_{22}}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\frac {1}{d_{n-1n-1}}}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {1}{d_{nn}}}\end{pmatrix}}.$

Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar, die invertierbaren Matrizen bilden eine Gruppe. Aus der einzigen Gleichung

${}A\circ M=E_{n}\,$

folgt sogar die umgekehrte Gleichung

${}M\circ A=E_{n}\,,$

also die Invertierbarkeit von ${}M$. Dies ist aber rein matrizentheoretisch schwierig zu beweisen, für den Fall von ${}2\times 2$-Matrizen siehe Aufgabe. Mit Hilfe der Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen kann man es beweisen, indem man verwendet, dass für eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind (das haben wir nicht bewiesen). Invertierbare Matrizen und bijektive lineare Abbildungen hängen unmittelbar zusammen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix ${}M$.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn ${}M$ invertierbar ist.

Beweis

Wenn ${}\varphi$ bijektiv ist, so gibt es eine lineare Abbildung

$\psi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$

mit

${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{K^{n}}=\psi \circ \varphi \,.$

Es sei ${}M$ die Matrix zu ${}\varphi$ und ${}N$ die Matrix zu ${}\psi$. Nach Fakt ist dann

${}M\circ N=E_{n}=N\circ M\,$

und dies bedeutet die Invertierbarkeit von ${}M$. Die Rückrichtung geht genauso.

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