Invertierte Potenzfunktionen/Antiproportionaler Zusammenhang/Textabschnitt

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In einem Körper sind zu

und einer negativen ganzen Zahl

mit auch die Ausdrücke

sinnvoll definiert und ergeben sinnvolle Funktionen

die man, wenn ein geordneter Körper vorliegt, ähnlich zu Fakt auf das Monotonieverhalten hin untersuchen kann. Hierbei muss man hauptsächlich die Invertierungsfunktion

verstehen.

Den Graphen der Invertierungsfunktion nennt man auch Hyperbel.



Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper. Dann gelten folgende Aussagen.

Dann ist die Abbildung

streng fallend und ebenso ist

streng fallend.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt  (4) und Fakt  (2).

Obwohl die Invertierungsfunktionen auf den beiden Abschnitten, auf denen sie definiert ist, streng fallend ist, ist sie insgesamt nicht streng fallend. Wenn zwischen zwei Größen die Beziehung

mit einer Konstanten besteht, so spricht man von einem antiproportionalen Zusammenhang oder einem reziproken Zusammenhang.



Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Abbildung

    ist streng fallend.

  2. Die Abbildung

    ist bei ungerade streng fallend.

  3. Die Abbildung

    ist bei gerade streng wachsend.

Beweis  

Dies folgt wegen

und Fakt  (4) aus Fakt.