Invertierte Potenzfunktionen/Antiproportionaler Zusammenhang/Textabschnitt

In einem Körper sind zu

${}x\neq 0\,$

und einer negativen ganzen Zahl

${}n=-m\,$

mit ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ auch die Ausdrücke

${}x^{n}={\left(x^{-1}\right)}^{m}\,$

sinnvoll definiert und ergeben sinnvolle Funktionen

$K\setminus \{0\}\longrightarrow K\setminus \{0\},\,x\longmapsto x^{n},$

die man, wenn ein geordneter Körper vorliegt, ähnlich zu Fakt auf das Monotonieverhalten hin untersuchen kann. Hierbei muss man hauptsächlich die Invertierungsfunktion

$K\setminus \{0\}\longrightarrow K\setminus \{0\},\,x\longmapsto x^{-1},$

verstehen.

Den Graphen der Invertierungsfunktion nennt man auch Hyperbel.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper.

Dann ist die Abbildung

$K_{+}\longrightarrow K_{+},\,x\longmapsto x^{-1},$

streng fallend und ebenso ist

$K_{-}\longrightarrow K_{-},\,x\longmapsto x^{-1},$

streng fallend.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt  (4) und Fakt  (2).

$\Box$

Obwohl die Invertierungsfunktionen auf den beiden Abschnitten, auf denen sie definiert ist, streng fallend ist, ist sie insgesamt nicht streng fallend. Wenn zwischen zwei Größen die Beziehung

${}y=cx^{-1}\,$

mit einer Konstanten ${}c$ besteht, so spricht man von einem antiproportionalen Zusammenhang oder einem reziproken Zusammenhang.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}n=-m\in \mathbb {Z} _{-}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $K_{+}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist streng fallend.

2. Die Abbildung

   $K_{-}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ ungerade streng fallend.

3. Die Abbildung

   $K_{-}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ gerade streng wachsend.

Beweis

Dies folgt wegen

${}x^{-m}={\left(x^{-1}\right)}^{m}\,$

und Fakt  (4) aus Fakt.

$\Box$