Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt

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Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form

mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter (das Differenzengitter zu ) gegeben. Es sei die Dimension von und seien die Facetten von . Zu jeder Facette gibt es eine integrale Linearform

deren Kern ist, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu zwei charakteristischen Polytopen bzw. deren Volumina. Zum einen wird durch

eine zur Facette parallele Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese parallelen Hyperebenen begrenzen ein (kompaktes) Polytop. Dessen Volumen nennen wir die -Signatur des Kegels.

Zum andern wird durch

eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen wieder ein (kompaktes) Polytop. Das -fache dessen Volumen nennen wir die -Signatur des Kegels.

Es ist nicht unmittelbar klar, ob und wie man diese als Invarianten der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist.


Beispiel  

Wir betrachten den polyedrischen Kegel mit dem zugehörigen Monoid und dem Monoidring

Das Monoid wird erzeugt durch die Standardvektoren und die begrenzenden Linearformen sind , also die Dualbasis dazu. Durch die Hyperflächen und den Kegel wird der -dimensionale Würfel eingegrenzt, der das Volumen besitzt. Durch die Bedingung

wird zusammen mit dem Kegel ein -dimensionaler Standardsimplex festgelegt, der das Volumen besitzt. Multipliziert mit ergibt sich .


Wir erwähnen für das Monoid bzw. den Monoidring

folgende Beobachtung. Wegen

ist die Wirkungsweise der Operatoren auf einem Tupel im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung , wobei das Ergebnis als zu interpretieren ist, falls man außerhalb von landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren , die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen.

Bemerkung  

Verschiedene Kegel können zum gleichen Monoid führen, beispielsweise zum regulären Monoid . Wenn Monoiderzeuger für ein Monoid mit

sind, so ist durch ein Isomorphismus

gegeben, der in überführt und auch die Kegel ineinander überführt. Über die duale Abbildung entsprechen sich auch die begrenzenden integralen Linearformen. Da man das Volumen des von Vektoren erzeugten Parallelotops nach Fakt ebenfalls mit dem Betrag der Determinante berechnet, ergibt sich für ebenfalls die Signatur .

Ein Beispiel ist das von und erzeugte Monoid.


Man kann allgemeiner zeigen, dass die eingeführten Signaturen nur von den (Isomorphieklassen der) Monoiden abhängen. Aus einem Isomorphismus ergibt sich nämlich ein Isomorphismus der zugehörigen Differenzengitter und damit auch der Kegel und der Linearformen.


Beispiel  

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im durch die zwei Kanten und begrenzt wird. Das zugehörige Monoid ist durch die drei Erzeuger

gegeben. Dabei ist

Die Summe der beiden ersten Erzeuger stimmt also mit dem -fachen des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch

gegeben. Der Kegel wird wie jeder ebene Kegel durch zwei Kanten begrenzt. Die definierenden integralen Linearformen sind

Beide Linearformen nehmen im Punkt den Wert an. Die Bedingung bestimmt die zur -Achse parallele Gerade der Höhe , die die zweite Kante im Punkt durchstößt. Durch die Bedingung wird wiederum eine Gerade festgelegt, die parallel zur einen Kanten verläuft, und die die erste Kante, also die -Achse, im Punkt durchstößt. Durch die Bedingung  und wird ein Parallelogramm (das „ -Signatur-Polytop“) definiert, das vom Ursprung ausgehend von den beiden Vektoren und aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel gleich

Dies ist die kombinatorische -Signatur des Kegels.

Die Summe der zwei beschreibenden Linearformen ist

Durch die Gleichung

wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke zerteilt, deren Flächeninhalte sind. Durch den Fakultätsfaktor ergibt sich, dass die -Signatur ebenfalls gleich ist.



Definition  

Ein spitzer polyedrischer Kegel heißt simplizial, wenn die Anzahl seiner Facetten mit der Dimension übereinstimmt.

Im zweidimensionalen ist jeder Kegel simplizial, nämlich durch zwei Kanten begrenzt, in höherer Dimension ist dies aber keineswegs immer der Fall.



Lemma  

Es sei ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel, der simplizial sei.

Dann stimmt die -Signatur mit der -Signatur des Kegels überein.

Beweis  



Beispiel  

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im durch ein Quadrat in der -Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte

Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch

gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht simplizial. Die definierenden integralen Linearformen sind

Das „ -Signatur-Polytop“, das durch die Bedingungen , , gegeben ist, ist eine Doppelpyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der (Einzel)-Höhe, ihr Volumen (also die kombinatorische -Signatur) ist daher

Die Summe der vier Linearformen ist

Somit wird das „ -Signatur-Polytop“ durch

begrenzt, und sein Volumen ist

Die kombinatorische -Signatur ist also