Kommutativer Ring/Teilbarkeitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Lemma

In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.

Bemerkung  

Eine Einheit ist also ein Element, das die teilt. Das Element mit der Eigenschaft ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch die Eigenschaft , so ist

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte mit nennt man das (multiplikativ) Inverse zu und bezeichnet es mit . Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von nennt. Sie wird mit bezeichnet.


In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist und . Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: , siehe die nächste Vorlesung.


Definition  

Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.

Bemerkung  

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe.


Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.


Lemma

In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
  2. Jede Einheit teilt jedes Element.
  3. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass keine Primzahl ist. Dabei ist die nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist.