Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst ${}T$ kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus Fakt. Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung (siehe Aufgabe)

$C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

aus Fakt und aus Fakt. Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt ${}x\in X$ und ein ${}\epsilon >0$ fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von ${}T$ gemäß Fakt gibt es endlich viele Funktionen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in T$ derart, dass

${}T\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}\,$

ist. Für diese endlich vielen Funktionen ${}f_{i}$ finden wir eine gemeinsame offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ mit

${}d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}\leq {\frac {\epsilon }{3}}\,$

für alle ${}x'\in U$ und alle ${}i=1,\ldots ,n$. Für ein beliebiges ${}f\in T$ ist ${}f\in U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}$ für ein ${}i$ und daher ist (für ${}x'\in U$)

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),f(x')\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{i}(x)\right)}+d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}+d{\left(f_{i}(x'),f(x')\right)}\\&\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Kompaktheit gemäß Fakt. Nach Aufgabe ist wegen der Abgeschlossenheit von ${}T$ in ${}C(X,{\mathbb {K} })$ auch ${}T$ vollständig und nach Fakt ist ${}T$ total beschränkt.

Zur bewiesenen Aussage