Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Motivation/Textabschnitt

Es seien ${}M$ und ${}N$ komplexe Mannigfaltigkeiten. Neben den holomorphen Abbildungen von ${}M$ nach ${}N$ sind auch reell-differenzierbare Abbildungen wichtig, wobei man sich zumeist auf ${}C^{\infty }$-Abbildungen beschränkt. Besonders wichtig ist der Fall ${}N={\mathbb {C} }$, dann geht es um die komplexwertigen reell-differenzierbaren Funktionen. Zwar interessiert man sich im Kontext von komplexen Mannigfaltigkeiten in erster Linie für holomorphe Abbildungen, doch treten differenzierbare Funktionen (und differenzierbare Differentialformen) als wichtiges Hilfsmittel auf. Wichtige Aspekte sind.

1. Charakterisierung von holomorphen Abbildungen unter den differenzierbaren Abbildungen (siehe Fakt, Fakt).
2. Approximationsprozesse durch differenzierbare Abbildungen.
3. Höhere Flexibilität der differenzierbaren Funktionen (platte Funktionen, Partition der Eins).
4. Engere Beziehung zur Topologie, Homologiegruppen, Fundamentalgruppe, Integrale über stetige Wege.
5. Maßtheoretische Aspekte, Flächeninhalte.
6. Garbentheoretische Auflösung (siehe Fakt, Fakt), Kohomologieberechnung (siehe Fakt, Fakt).