Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über holomorphe Kurven/Derivationen/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra und ${}M$ ein ${}A$-Modul. Dann heißt eine ${}R$-lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle ${}a,b\in A$ eine ${}R$-Derivation (mit Werten in ${}M$).

Lemma

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt.

Dann gibt es einen natürlichen ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraumisomorphismus

$T_{P}M\longrightarrow \operatorname {Der} _{\mathbb {C} }{\left({\mathcal {O}}_{M,P},{\mathbb {C} }\right)},\,[\gamma ]\longmapsto {\left(f\mapsto (T_{P}f)([\gamma ])\right)}.$

Beweis

Es ist

${}(T_{P}f)([\gamma ])=[f\circ \gamma ]=(f\circ \gamma )'(0)\,$

eine komplexe Zahl. Die Zuordnung ist unabhängig vom gewählten Vertreter für ${}[\gamma ]$ und für den holomorphen Funktionskeim ${}f$. Die Linearität der Zuordnung ${}f\mapsto (f\circ \gamma )'(0)$ ist ein Spezialfall der Kettenregel. Die Leibnizregel ergibt sich unter Verwendung der Produktregel aus

${}((f\cdot g)\circ \gamma )'(0)=f(P)(dg)_{P}(\gamma '(0))+g(P)(df)_{P}(\gamma '(0))\,.$

Es wird also in der Tat einem Tangentialvektor eine Derivation zugeordnet. Die Gesamtzuordnung ist ebenfalls ${}{\mathbb {C} }$-linear nach Fakt  (3).

$\Box$