Komplexe Potenzreihen/Konvergenzradius/Kriterien/Textabschnitt

Die folgende Formel heißt Formel von Cauchy-Hadamard, sie liefert eine wichtige Formel, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen.

Lemma

Für den Konvergenzradius ${}R$ einer komplexen Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

gilt

${}R={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}\,.$

Beweis

Es sei ${}S={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}$ die Zahl aus ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ aus der Satzformulierung und sei ${}R$ der Konvergenzradius. Es sei ${}0<r<r'<S$. Es ist dann

${}\limsup {\sqrt[{n}]{c_{n}}}={\frac {1}{S}}<{\frac {1}{r'}}\,$

und damit ist ${}{\sqrt[{n}]{c_{n}}}\leq {\frac {1}{r'}}$ für alle ${}n\geq N$ ab einem gewissen ${}N$. Dann kann man auf ${}\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ wegen

${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert r^{n}}}=r{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}\leq {\frac {r}{r'}}<1\,$

das Wurzelkriterium anwenden und erhält die absolute Konvergenz von ${}\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$. Da ${}r$ beliebig nah an ${}S$ ist, folgt ${}S\leq R$.

Es sei nun ${}S<r$. Dann gibt es unendlich viele Koeffizienten ${}c_{i}$, ${}i\in I$, mit

${}{\sqrt[{i}]{\vert {c_{i}}\vert }}>{\frac {1}{r}}\,$

bzw.

${}\vert {c_{i}}\vert r^{i}>1\,.$

Daher kann ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ nicht konvergieren, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Somit ist auch ${}S\geq R$.

$\Box$

Diese Aussage gilt auch für die Extremfälle, wo der Nenner gleich ${}0$ (dann ist der Konvergenzradius gleich ${}\infty$) und wo der Nenner gleich ${}\infty$ ist (dann ist der „Konvergenzradius“ gleich ${}0$, dann liegt also keine konvergente Potenzreihe vor). Dabei gilt in der Folge ${}{\sqrt[{n}]{c_{n}}}$ auch ${}+\infty$ als Häufungspunkt, wenn die Folge unbeschränkt ist, und in diesem Fall ist der Limes superior gleich ${}+\infty$, siehe auch direkt Aufgabe. Häufig wird der Konvergenzradius über die Quantität im Lemma definiert.

Beispiel

Für die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }3^{n}z^{n}$ ist ${}{\sqrt[{n}]{3^{n}}}=3$ und daher ist nach Fakt der Konvergenzradius gleich ${}{\frac {1}{3}}$. Dies ergibt sich auch, wenn man mit der geometrischen Reihe vergleicht.

Die Formel ist nicht immer gut geeignet, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen. Für die Exponentialreihe ist es einfacher, direkt zu zeigen, dass sie überall konvergiert, während der Weg über die Formel mit Aufgabe aufwändiger ist.