Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Identitätssatz/Textabschnitt

Eine diskrete Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ ist eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass es zu jedem Punkt ${}P\in D$ eine Kreisumgebung ${}U{\left(P,r\right)}$ mit ${}U{\left(P,r\right)}\cap D=\{P\}$ gibt. Dies bedeutet, dass die induzierte Topologie von ${}{\mathbb {C} }$ auf ${}D$ die diskrete Topologie ist. Polynome ${}\neq 0$ besitzen nach Fakt nur endlich viele Nullstellen und endliche Teilmengen sind diskret. Aber auch die trigonometrischen Funktionen besitzen eine diskrete (aber nicht endliche) Nullstellenmenge. Dies gilt für beliebige holomorphe Funktionen.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.

Dann ist die Nullstellenmenge von ${}f$ diskret und abgeschlossen (in ${}U$).

Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es nach Aufgabe einen Häufungspunkt ${}a$ der Nullstellenmenge, der wegen der Abgeschlossenheit der Nullstellenmenge insbesondere zu ${}U$ gehört . Nach Fakt wird ${}f$ in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben, mit Fakt folgt, dass die Potenzreihe zu ${}a$ die Nullreihe ist und dass daher ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ gleich ${}0$ ist.

Wir betrachten nun

$N={\left\{w\in U\mid {\text{ die beschreibende Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.$

Nach Voraussetzung gehört ${}a$ zu ${}N$, die Menge ${}N$ ist also nicht leer. Die Menge ${}N$ ist offen: Wenn ${}w\in N$ ist, so ist die Funktion ${}f$ in einer offenen Umgebung ${}U{\left(w,r\right)}$ die Nullfunktion, daher ist auch für alle Punkte ${}w'\in U{\left(w,r\right)}$ die beschreibende Potenzreihe die Nullreihe. Die Menge ${}N$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei ${}w_{n}$ eine Folge in ${}N$, die gegen ${}w\in U{\left(0,R\right)}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}w_{n}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere ${}f(w_{n})=0$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}w$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt wieder nach Fakt, dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu ${}N$ gehört. ${}N$ ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz ${}U{\left(0,R\right)}$.

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Die beiden folgenden Aussagen (die zweite heißt Identitätssatz) folgen daraus unmittelbar.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Wenn die Nullstellenmenge von ${}f$ einen Häufungspunkt in ${}U$ besitzt, so ist ${}f$ die Nullfunktion.

Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.

$\Box$

Es kann dabei aber durchaus sein, dass die Nullstellenmenge einen Häufungspunkt in ${}{\mathbb {C} }$ besitzt, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von ${}f$ und ${}g$, also ${}{\left\{z\in U\mid f(z)=g(z)\right\}}$ besitze einen Häufungspunkt in ${}U$.

Dann ist ${}f=g$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, wenn man die Differenz ${}f-g$ betrachtet.

$\Box$