Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei also eine Galoiserweiterung  ${}K\subseteq M$  mit ${}z\in M$ gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ${}2^{r}$ ist. Wir zeigen durch Induktion nach ${}r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein ${}z$.). Dabei ist der Fall ${}r=0$ trivial. Es sei also  ${}\operatorname {grad} _{K}M=2^{r}$  ($r\geq 1$) und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe  ${}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$  gleich ${}2^{r}$. Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum  ${}Z\subseteq G$,  so dass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe  ${}H\subseteq Z$  mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$. Wir betrachten  ${}L=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq M$.  Nach Fakt ist  ${}\operatorname {grad} _{L}M=2$  und nach Fakt ist  ${}K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung der Ordnung ${}2^{r-1}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch  ${}L\subset M$ 

zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.

Zur gelösten Aufgabe