Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Sei also eine Galoiserweiterung mit gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ist. Wir zeigen durch Induktion nach , dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein ). Dabei ist der Fall trivial. Sei also () und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe gleich . Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum , so dass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ein Normalteiler in . Wir betrachten . Nach Fakt ist und nach Fakt ist eine Galoiserweiterung der Ordnung und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch

zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.
Zur gelösten Aufgabe