Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich wie in Fakt.
Es sei (2) erfüllt. Nach Fakt gibt es eine endliche Galoiserweiterung  $K\subseteq M$,  die $L$ und damit $z$ enthält und die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Nach Fakt ist dann der Grad von  $K\subseteq M$  eine Zweierpotenz. Es sei $L^{\prime }$ der Zerfällungskörper von $z$ über $K$. Da $M$ galoissch ist, gilt  $L^{\prime }\subseteq M$,  und daher ist auch der Grad von  $K\subseteq L^{\prime }$  eine Zweierpotenz.
Die Implikationen von (3) nach (4) und von (4) nach (5) sind klar aufgrund von Fakt.
(5) $⟹$ (2). Es sei nun (5) erfüllt, und sei eine Galoiserweiterung  $K\subseteq M$  in $ℂ$ mit  $z\in M$  gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz $2^r$ ist. Wir zeigen durch Induktion nach $r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein $z$.). Dabei ist der Fall  $r=0$  trivial. Es sei also  ${\mathrm{grad}}_{K}M=2^r$  ($r\ge 1$) und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe  $G=\mathrm{Gal}(M/K)$  gleich $2^r$. Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum  $Z\subseteq G$,  sodass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe  $H\subseteq Z$  mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist $H$ ein Normalteiler in $G$. Wir betrachten  $L=\mathrm{Fix}(H)\subseteq M$.  Nach Fakt ist  ${\mathrm{grad}}_{L}M=2$  und nach Fakt ist  $K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung der Ordnung $2^{r-1}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch  $L\subset M$  zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.

Zur bewiesenen Aussage