Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich wie in Fakt.
Es sei (2) erfüllt. Nach Fakt gibt es eine endliche Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$, die ${}L$ und damit ${}z$ enthält und die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Nach Fakt ist dann der Grad von ${}K\subseteq M$ eine Zweierpotenz. Es sei ${}L'$ der Zerfällungskörper von ${}z$ über ${}K$. Da ${}M$ galoissch ist, gilt ${}L'\subseteq M$, und daher ist auch der Grad von ${}K\subseteq L'$ eine Zweierpotenz.
Die Implikationen von (3) nach (4) und von (4) nach (5) sind klar aufgrund von Fakt.
(5) ${}\Longrightarrow$ (2). Es sei nun (5) erfüllt, und eine Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ in ${}{\mathbb {C} }$ mit ${}z\in M$ gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ${}2^{r}$ ist. Wir zeigen durch Induktion nach ${}r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein ${}z$.). Dabei ist der Fall ${}r=0$ trivial. Es sei also ${}\operatorname {grad} _{K}M=2^{r}$ (${}r\geq 1$) und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ gleich ${}2^{r}$. Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum ${}Z\subseteq G$, so dass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe ${}H\subseteq Z$ mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$. Wir betrachten ${}L=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq M$. Nach Fakt ist ${}\operatorname {grad} _{L}M=2$ und nach Fakt ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung der Ordnung ${}2^{r-1}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch ${}L\subset M$ zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.

Zur bewiesenen Aussage