Konstruierbare Zahlen/Arithmetik und Körper/Textabschnitt

Lemma

Sei ${}P=(x,y)\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt in der Ebene.

Dann ist ${}P$ genau dann konstruierbar, wenn die beiden Koordinaten ${}x$ und ${}y$ konstruierbar sind.

Beweis

Zunächst einmal kann man aufgrund der vorgegebenen Punkte die ${}x$-Achse und dann wegen Fakt die dazu senkrechte Achse durch ${}0$, also die ${}y$-Achse, konstruieren. Es steht also das Achsenkreuz zur Verfügung. Wenn nun ${}P$ gegeben ist, so kann man aufgrund von Fakt  (4) die zu den Achsen parallelen Geraden zeichnen und erhält somit die Koordinatenwerte. Den ${}y$-Wert kann man dann noch mit einem Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt auf die ${}x$-Achse transportieren. Wenn umgekehrt die beiden Koordinaten gegeben sind, so kann man durch diese die senkrechten Geraden zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.

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Lemma

Es sei ${}G$ eine mit ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es seien zwei Punkte ${}a,b\in G$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen

1. Die Summe ${}a+b$ ist (mit Zirkel und Lineal) konstruierbar.
2. Das Produkt ${}ab$ ist konstruierbar.
3. Bei ${}b\neq 0$ ist der Quotient ${}a/b$ konstruierbar.

Beweis

  (1) Wir verwenden eine zu ${}G$ senkrechte Gerade ${}H$ durch ${}0$ und darauf einen Punkt ${}x\neq 0$. Dazu nehmen wir die zu ${}H$ senkrechte Gerade ${}G'$ durch ${}x$, die also parallel zu ${}G$ ist. Wir zeichnen die Gerade ${}H'$, die parallel zu ${}H$ ist und durch ${}a\in G$ verläuft. Der Schnittpunkt von ${}H'$ und ${}G'$ markieren wir als ${}a'$, so dass der Abstand von ${}a'$ zu ${}x$ gleich ${}a$ ist. Jetzt zeichnen wir die Gerade ${}L$ durch ${}b$ und ${}x$ und dazu die parallele Gerade ${}L'$ durch ${}a'$. Der Schnittpunkt von ${}L'$ mit ${}G$ ist ${}y=a+b$, da ${}x,b,a',y$ ein Parallelogramm bilden.
  Zum Beweis von (2) und (3) verwenden wir wieder die zu ${}G$ senkrechte Gerade ${}H$. Wir schlagen Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ${}1$, ${}a$ und ${}b$ und markieren die entsprechenden Punkte auf ${}H$ als ${}1'$, ${}a'$ und ${}b'$. Dabei wählt man ${}1'$ als einen der beiden Schnittpunkte und ${}a'$ und ${}b'$ müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Um das Produkt zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${}L$ durch ${}a$ und ${}1'$ und dazu die parallele Gerade ${}L'$ durch ${}b'$. Diese Gerade schneidet ${}G$ in genau einem Punkt ${}x$. Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Steckenverhältnis

${}{\frac {x}{a}}={\frac {b'}{1'}}={\frac {b}{1}}\,.$

Also ist ${}x=ab$.
Um den Quotienten ${}{\frac {a}{b}}$ bei ${}b\neq 0$ zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${}T$ durch ${}1$ und ${}b'$ und dazu parallel die Gerade ${}T'$ durch ${}a'$. Der Schnittpunkt von ${}T'$ mit ${}G$ sei ${}z$. Aufgrund des Strahlensatzes gilt die Beziehung

${}{\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}=z\,.$

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Satz

Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Die ${}0$ und die ${}1$ sind als Ausgangsmenge automatisch darin enthalten. Zu einem Punkt ${}P$ gehört auch der „gegenüberliegende“ Punkt ${}-P$ dazu, da man ihn konstruieren kann, indem man die Gerade durch ${}P$ und ${}0$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}P$ zeichnet; der zweite Schnittpunkt von diesem Kreis und dieser Geraden ist ${}-P$. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist also unter der Bildung des Negativen abgeschlossen.

Aufgrund von Fakt kann man sich beim Nachweis der Körpereigenschaften darauf beschränken, dass die reellen konstruierbaren Zahlen einen Körper bilden. Dies folgt aber aus Fakt.

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