Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe/Lösung

Die Galoisgruppe zum siebten Kreisteilungsring ist zyklisch der Ordnung ${}6$ und hat daher ${}4$ Untergruppen: In der Beschreibung ${}{\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}^{\times }$ sind dies die triviale Gruppe ${}\{1\}$, die volle Gruppe, die Gruppe ${}\{1,6\}$ und die Gruppe ${}\{1,2,4\}$.

Bei ${}H=\{1\}$ sind die einzelnen Elemente die Nebenklassen, der Invariantenring ist ${}R_{7}$ und die Ganzheitsbasis aus Aufgabe sind einfach die Elemente ${}X^{1},X^{2},\ldots ,X^{6}$ (dies ist auch nach Aufgabe eine Ganzheitsbasis).

Bei ${}H=\{1,6\}=\{1,-1\}$ sind die Nebenklassen gleich

$\{1,6\},\,\{2,5\},\,\{3,4\}.$

Die zugehörige Ganzheitsbasis ist somit

$X+X^{6}=X+X^{-1},\,X^{2}+X^{5}=X^{2}+X^{-2},\,X^{3}+X^{4}=X^{3}+X^{-3}.$

Dieser Ring ist gleich ${}R_{7}\cap \mathbb {R}$, vergleiche Aufgabe.

Bei ${}H=\{1,2,4\}$ (die Untergruppe der Quadrate) sind die Nebenklassen gleich

$\{1,2,4\},\,\{3,5,6\}.$

Die Ganzheitsbasis ist

$X+X^{2}+X^{4},\,X^{3}+X^{5}+X^{6},$

der Invariantenring ist der in Aufgabe (bzw. allgemeiner in Fakt und Fakt) beschriebene quadratische Zahlbereich innerhalb von ${}R_{7}$. Die quadratische Gaußsumme ist die Differenz der beiden Elemente in der angegebenen Ganzheitsbasis.

Bei der vollen Gruppe ${}H=\{1,2,3,4,5,6\}$ ist

$X^{1}+X^{2}+X^{3}+X^{4}+X^{5}+X^{6}$

das einzige Element der Ganzheitsbasis, der Invariantenring ist ${}\mathbb {Z}$, und dieses Element ist einfach gleich ${}-1$.

Zur gelösten Aufgabe