Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe/Lösung

Die Galoisgruppe zum siebten Kreisteilungsring ist zyklisch der Ordnung $6$ und hat daher $4$ Untergruppen: In der Beschreibung ${(\mathbb{Z}/(7))}^{\times }$ sind dies die triviale Gruppe $\{1\}$, die volle Gruppe, die Gruppe $\{1,6\}$ und die Gruppe $\{1,2,4\}$.

Bei  $H=\{1\}$  sind die einzelnen Elemente die Nebenklassen, der Invariantenring ist $R_7$ und die Ganzheitsbasis aus Aufgabe sind einfach die Elemente $X^1,X^2,\dots ,X^6$ (dies ist auch nach Aufgabe eine Ganzheitsbasis).

Bei  $H=\{1,6\}=\{1,-1\}$  sind die Nebenklassen gleich

$\{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}.$

Die zugehörige Ganzheitsbasis ist somit

$X+X^6=X+X^{-1},X^2+X^5=X^2+X^{-2},X^3+X^4=X^3+X^{-3}.$

Dieser Ring ist gleich $R_7\cap ℝ$, vergleiche Aufgabe.

Bei  $H=\{1,2,4\}$  (die Untergruppe der Quadrate) sind die Nebenklassen gleich

$\{1,2,4\},\{3,5,6\}.$

Die Ganzheitsbasis ist

$X+X^2+X^4,X^3+X^5+X^6,$

der Invariantenring ist der in Aufgabe (bzw. allgemeiner in Fakt und Fakt) beschriebene quadratische Zahlbereich innerhalb von $R_7$. Die quadratische Gaußsumme ist die Differenz der beiden Elemente in der angegebenen Ganzheitsbasis.

Bei der vollen Gruppe  $H=\{1,2,3,4,5,6\}$  ist

$X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6$

das einzige Element der Ganzheitsbasis, der Invariantenring ist $\mathbb{Z}$, und dieses Element ist einfach gleich $-1$.

Zur gelösten Aufgabe