Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Klausur

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Vorlesung über algebraische Kurven (Osnabrück 2008/2009)
Klausur

Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in der noch nicht geschrieben werden darf.

Hilfsmittel: Erlaubt ist lediglich ein DinA4-Blatt (zweiseitig) mit beliebigem Inhalt. Taschenrechner oder sonstige Hilfsmittel sind nicht erlaubt.

Alle Antworten sind zu begründen.

Es gibt insgesamt 64 Punkte. Zum Bestehen braucht man 16 Punkte und für eine Eins braucht man 32 Punkte. Viel Erfolg!



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 4 3 6 4 4 4 5 5 4 4 4 3 7 6 66



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte -Algebren. Es sei

ein -Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper. Betrachte die durch

definierte Parametrisierung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Körper, eine endlich erzeugte -Algebra, sei ein Ideal und sei . In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

und die beiden Aussagen

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.


Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten -Algebra und eines multiplikativen Systems , , an derart, dass die Nenneraufnahme kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus zum Einheitsideal in wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und eine integre, endlich erzeugte -Algebra mit Quotientenkörper . Sei . Zeige, dass die Menge

offen in ist (dabei bezeichnet den lokalen Ring im Punkt ).


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und eine endlich erzeugte -Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

Definiere einen Isomorphismus zwischen und der affinen Geraden . Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen und dem projektiven Abschluss fortsetzen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid , das durch und erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.


Aufgabe * (7 Punkte)

Sei und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen und ) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei der Nullpunkt in der reellen Ebene und . Es sei eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte mit der Eigenschaft, dass der Abstand proportional mit Proportionalitätsfaktor zum (senkrechten) Abstand ist.

Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei eine Ellipse, bei eine Parabel und bei eine Hyperbel vorliegt.