Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Klausur

Vorlesung über algebraische Kurven (Osnabrück 2008/2009)

Klausur

Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in der noch nicht geschrieben werden darf.

Hilfsmittel: Erlaubt ist lediglich ein DinA4-Blatt (zweiseitig) mit beliebigem Inhalt. Taschenrechner oder sonstige Hilfsmittel sind nicht erlaubt.

Alle Antworten sind zu begründen.

Es gibt insgesamt 64 Punkte. Zum Bestehen braucht man 16 Punkte und für eine Eins braucht man 32 Punkte. Viel Erfolg!

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	$\sum$
Punkte	3	4	3	6	4	4	4	5	5	4	4	4	3	7	6	66

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt $(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve

$C=V(Y^4+X^3+3X{Y}^2+2X^{2}Y)\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

$V(-2X^3+3X^{2}Y-Y+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}})\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${\mathbb{P}}_K^1$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ integre, endlich erzeugte $K$-Algebren. Es sei

$\phi :R⟶S$

ein $K$-Algebrahomomorphismus und $𝔫$ ein maximales Ideal in $S$ mit  ${\phi }^{-1}(𝔫)=𝔪$.  Die Abbildung induziere einen Isomorphismus $R_{𝔪}\to S_{𝔫}$. Zeige, dass es dann auch ein $f\in R$, $f\in ̸𝔪$, derart gibt, dass $R_f\to S_{\phi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die durch

${𝔸}_K^1⟶{𝔸}_K^2,t⟼(t+t^2,t^3)=(x,y),$

definierte Parametrisierung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^{2}Y+X^2+Y^2-5XY+Y)$

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung  $Y=F(X)$  im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, sei  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal und sei  $X=K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$.  In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

$V(𝔞)=\mathrm{\varnothing }\text{ und }𝔞\text{ ist das Einheitsideal}$

und die beiden Aussagen

$V(𝔞)=X\text{ und }𝔞\text{ ist nilpotent}$

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob $K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten $ℂ$-Algebra $R$ und eines multiplikativen Systems $S\subseteq R$, $0\in ̸S$, an derart, dass die Nenneraufnahme $R_S$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus $R$ zum Einheitsideal in $R_S$ wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre, endlich erzeugte $K$-Algebra mit Quotientenkörper $Q(R)$. Es sei $q\in Q(R)$. Zeige, dass die Menge

$\{P\in K-\mathrm{Spek}\left(R\right)\mid q\in {𝒪}_P\}$

offen in $K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ ist (dabei bezeichnet ${𝒪}_P$ den lokalen Ring im Punkt $P$).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_1,\dots ,X_n]/𝔞$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen

$K-\mathrm{Spek}\left(R\right)\text{ und }V(𝔞)\subseteq {𝔸}_K^n.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

$C=V(Y-X^3+X+2).$

Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${𝔸}_K^1$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb{P}}_K^1$ und dem projektiven Abschluss  $\bar{C}\subset {\mathbb{P}}_K^2$  fortsetzen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid  $M\subseteq \mathbb{N}$,  das durch $4,7$ und $17$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei  $K=ℂ$.  Wir betrachten die beiden ebenen algebraischen Kurven

$C=V(X-Y^2)\text{ und }D=V(Y^2-X^5).$

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen $\overline{C}$ und $\overline{D}$) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bézout in diesem Beispiel erfüllt ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei  $F=(0,0)$  der Nullpunkt in der reellen Ebene und  $G=V(X-1)$.  Es sei  $e>0$  eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte  $P=(x,y)$  mit der Eigenschaft, dass der Abstand $d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor $\sqrt{e}$ zum (senkrechten) Abstand $d(P,G)$ ist.

Zeige, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei  $e<1$  eine Ellipse, bei  $e=1$  eine Parabel und bei  $e>1$  eine Hyperbel vorliegt.