Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 8b

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Beispiel (Kreis und Gerade durch Mittelpunkt II)  

Wir gehen nun zum allgemeinen Fall über, wo der Koppelungsabstand nicht ist. Das mechanische System wird dann durch den Schnitt von zwei Zylindern mit unterschiedlichen Radien beschrieben. Aus den beiden Gleichungen kann man einfach eliminieren und erhält die Gleichung

Wir setzen und .



Für einen Punkt der Koppelungsstange sind die Koordinaten gleich

Wir wollen die Trajektorie zu diesem Punkt des mechanischen System berechnen. Bei ist das einfach die Gerade, so dass wir im Folgenden annehmen. Wir ersetzen

in der ersten und der eliminierten Gleichung und erhalten

bzw.



Es liegen also zwei quadratische Gleichungen für über vor. Mittels Fakt4.6 kann man daraus eine Gleichung für und errechnen, und zwar ergibt sich

Das ist eine eben algebraische Kurve vom Grad vier, eine ziemlich hässliche Gleichung.




Beispiel (Zwei Kreise)  

Als Bahnen betrachten wir jetzt zwei Kreise, wobei wir uns auf gleichen Radius beschränken, den wir zu normieren. Durch verschieben können wir annehmen, dass und die Mittelpunkte der beiden Kreise sind. Die Länge der Koppelungsstange sei wieder , so dass die drei algebraischen Gleichungen

das mechanische System beschreiben. Wir interessieren uns für die Trajektorie des Mittelpunktes der Stange. Dessen Koordinaten sind gegeben durch

Wir drücken das System in den Variablen aus, ersetzen und erhalten

  1. .

In der Gleichung (3) kommt nicht vor, und aus den Gleichungen (1) und (2) wollen wir eliminieren.


Wann sind für zwei gegebene algebraische Kurven und die Trajektorien des zugehörigen mechanischen Systems beschränkt? Dies ist nicht immer der Fall. So sind beispielsweise für zwei parallele Geraden die Trajektorien ebenfalls parallele Geraden (wenn der Stangenpunktabstand (Koppelungsabstand) mindestens so groß ist wie der Parallelabstand). Aber auch für kompliziertere Syteme gibt es unbeschränkte Trajektorien, wie das folgende Beispiel zeigt.


Beispiel  

Zissoide des Diokles

Die Zissoide des Diokles ist durch die Gleichung

gegeben. Sie hat für reelles keine reelle Lösung, da dann die rechte Seite negativ ist und keine Quadratwurzel besitzt. Sie hat auch für reelles keine reelle Lösung, da dann die rechte Seite positiv, aber der Koeffizient ist, so dass es wieder keine reelle Lösung gibt. Für ist die einzige Lösung, und für , gibt es genau zwei Lösungen in , die beide reelle sind.

Wir betrachten nun die Zissoide zusammen mit der durch definierten Geraden (im Bild grau) und das zugehörige mechanische Koppelungssystem mit Koppelungsabstand . Die Kurven und sind also die beiden Bahnen des mechanischen Stangensystems. Zu jeder reellen Zahlen gibt es stets Punkte mit , , mit und . Daher gibt es unbeschränkte Trajektorien. Die Gerade selbst ist eine unbeschränkte (Koppelungspunkt-)Trajektorie für einen Koppelungsabstand ( ist nicht die exakte Grenze; für kleinen Koppelungsabstand ist ein beschränkter Ausschnitt um nicht der Teil der Trajektorie) und die Zissoide ist eine (Koppelungspunkt-)Trajektorie, wenn der Koppelungsabstand ist (andernfalls ist ein beschränkter Teilbereich um den Nullpunkt nicht Teil der Trajektorie).



Definition  

Zwei ebene, affine, reell-algebraische Kurven heißen asymptotisch koppelungsfrei, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle Punkte und mit gilt: .

Zwei Kurven sind insbesondere asymptotisch koppelungsfrei, wenn eine davon beschränkt ist. Aber auch zwei nicht parallele Geraden sind asymptotisch koppelungsfrei.



Lemma  

Es seien zwei ebene affine reell-algebraischen Kurven, die asymptotisch koppelungsfrei seien. Dann ist jede Trajektorie des zugehörigen mechanischen Koppelungssystems beschränkt.

Beweis  

Es sei der Koppelungsabstand des zugehörigen mechanischen Systems und sei ein Punkt der bewegten Stange (oder Ebene), dessen Trajektorie wir untersuchen. Es sei das Maximum der Abstände von zu den beiden Koppelungspunkten. Zu gibt es aufgrund der Definition von asymptotisch koppelungsfrei ein derart, dass es außerhalb der Ballumgebung kein Punktepaar gibt mit Abstand . Bei jeder erlaubten Konfiguration des mechanischen System muss also mindestens ein Koppelungspunkt innerhalb der Ballumgebung liegen, sagen wir . Dann gilt für den zugehörigen Bildpunkt von zu dieser Konfiguration die Abschätzung

D.h. also alle Trajektorienpunkte liegen in einer beschränkten Umgebung.



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