Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 8

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Aufgabe (2 Punkte)

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Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei der Schnitt von zwei Zylindern mit Radius ( ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen). Wir betrachten die durch einen Vektor definierte senkrechte Projektion

Man charakterisiere, in Abhängigkeit von , die möglichen Bilder unter diesen Projektionen.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für und wie für aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen?


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

eine polynomiale Abbildung und sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe ***** nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine polynomiale Abbildung und sei eine ebene rationale Kurve. Es sei ferner vorausgesetzt, dass durch nicht auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dann ebenfalls eine rationale Kurve ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte in die beiden Nullstellenmengen

Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von nach geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von nach gibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die affine Ebene mit der Zariski-Topologie kompakt ist.


Aufgabe (10 Punkte)

Schreibe eine Computeranimation, die die Stangenkonfiguration bzw. die zugehörigen Trajektorien aus Beispiel ***** darstellt.