Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 8

Aufgabe (2 Punkte)

Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei  ${}C\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$  der Durchschnitt von zwei Zylindern (um die ${}x$- bzw. um die ${}y$-Achse) mit Radius ${}1$ (${}C$ ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen). Wir betrachten die durch einen Vektor  ${}v=(a,b,c)\neq 0$  definierte senkrechte Projektion

$p_{v}\colon {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}.$

Man charakterisiere, in Abhängigkeit von ${}a,b,c$, die möglichen Bilder unter diesen Projektionen.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2},y^{2})=(u,v).$

Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für  ${}K=\mathbb {R}$  und wie für  ${}K={\mathbb {C} }$  aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

eine polynomiale Abbildung und sei  ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}$  eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit

${}{\overline {\varphi (T)}}={\overline {\varphi ({\overline {T}})}}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe ***** nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine polynomiale Abbildung und sei ${}C$ eine ebene rationale Kurve. Es sei ferner vorausgesetzt, dass ${}C$ durch ${}\varphi$ nicht auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dann ${}{\overline {\varphi (C)}}$ ebenfalls eine rationale Kurve ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$ die beiden Nullstellenmengen

$K=V(X^{2}+Y^{2}-1)\,\,{\text{ und }}\,\,C=V(X^{4}+Y^{4}-1).$

Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über ${}\mathbb {Q}$ definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über ${}\mathbb {Q}$ überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von ${}C$ nach ${}K$ geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von ${}K$ nach ${}C$ gibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen ${}\mathbb {C}$ nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die affine Ebene ${}\mathbb {A} _{K}^{2}$ mit der Zariski-Topologie kompakt ist.

Aufgabe (10 Punkte)

Schreibe eine Computeranimation, die die Stangenkonfiguration bzw. die zugehörigen Trajektorien aus Beispiel 8.5 darstellt.