Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 9

Noethersche Ringe

Unser Ziel ist es zu zeigen, dass wenn ${}R$ ein noetherscher Ring ist, dass dann auch der Polynomring ${}R[X]$ ein noetherscher Ring ist (Hilbertscher Basissatz). Dies gilt dann auch für die Hinzunahme von mehreren (endlich vielen) Variablen und insbesondere für Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper. Wir erinnern an den Begriff des noetherschen Ringes.

Emmy Noether (1882-1935)

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Proposition

Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist noethersch.
2. Jede aufsteigende Idealkette

   ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

   wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$.

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Sei

${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

eine aufsteigende Idealkette in ${}R$. Wir betrachten die Vereinigung ${}{\mathfrak {a}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$, die wieder ein Ideal in ${}R$ ist. Da ${}R$ noethersch ist, ist ${}{\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt, d.h. ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{k})$. Da diese ${}f_{i}$ in der Vereinigung der Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein ${}n$ derart geben, dass ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{n}$ liegt. Wegen

${}(f_{1},\ldots ,f_{k})\subseteq {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+m}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq (f_{1},\ldots ,f_{k})\,$

für ${}m\geq 0$ muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab ${}n$ stationär ist.

(2) ${}\Rightarrow$ (1). Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$. Wir nehmen an, ${}{\mathfrak {a}}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subset {\mathfrak {a}}$, wobei die ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu

${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$

bereits konstruiert. Da ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ endlich erzeugt ist, aber ${}{\mathfrak {a}}$ nicht, ist die Inklusion ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$ echt und es gibt ein Element

$f_{n+1}\in {\mathfrak {a}},\,f_{n+1}\not \in {\mathfrak {a}}_{n}.$

Dann setzt das Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{n+1}:={\mathfrak {a}}_{n}+(f_{n+1})$ die Idealkette echt aufsteigend fort.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {b}}$ noethersch.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$ ein Ideal und sei ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$ das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${}{\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$: Für ein Element ${}{\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$ gilt ja ${}g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$ in ${}R$ und damit ${}{\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$ in ${}R/{\mathfrak {b}}$.

$\Box$

Der Hilbertsche Basissatz

Wie viele grundlegende Aussagen der kommutativen Algebra geht der Hilbertsche Basissatz, dem wir uns jetzt zuwenden, auf David Hilbert zurück, genauer auf seine Arbeit von 1890, „Ueber die Theorie der algebraischen Formen“.

David Hilbert (1862-1943)

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal im Polynomring ${}R[X]$. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ in ${}R$ durch

${}{\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.$

Das Menge ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad ${}n$ aus ${}{\mathfrak {b}}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in ${}R$ (wobei wir hier ${}0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+1}$, da man ja ein Polynom ${}F$ vom Grad ${}n$ mit Leitkoeffizient ${}c$ mit der Variablen ${}X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad ${}n+1$ zu erhalten, das wieder ${}c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da ${}R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei ${}n$ so, dass ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ ist.

Zu jedem ${}i\leq n$ sei nun ${}{\mathfrak {a}}_{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{ik_{i}})$ ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

${}F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,$

zugehörige Polynome aus ${}{\mathfrak {b}}$ (die es nach Definition der ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ geben muss).

Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {b}}$ von allen ${}{\left\{F_{ij}\mid 0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}\right\}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes ${}G\in {\mathfrak {b}}$ durch Induktion über den Grad von ${}G$, dass es als Linearkombination mit diesen ${}F_{ij}$ darstellbar ist. Für ${}G$ konstant, also ${}G\in R$, ist dies klar. Es sei nun der Grad von ${}G$ gleich ${}d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

${}G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$

Es ist ${}c\in {\mathfrak {a}}_{d}$ und damit kann man ${}c$ als ${}R$-Linearkombination der ${}c_{ij},0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}$, schreiben. Bei ${}d\leq n$ kann man ${}c$ sogar als ${}R$-Linearkombination der ${}c_{dj},\,j=1,\ldots ,k_{d}$, schreiben, sagen wir ${}c=\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}c_{dj}$. Dann ist ${}G-\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}F_{dj}\in {\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei ${}d>n$ ist

${}c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.$

Damit gehört

$G-\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}X^{d-i}F_{ij}$

ebenfalls zu ${}{\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

Beweis

Dies folgt durch induktive Anwendung des Hilbertschen Basissatzes auf die Kette

${}R\subset R[X_{1}]\subset (R[X_{1}])[X_{2}]=R[X_{1},X_{2}]\subset (R[X_{1},X_{2}])[X_{3}]=R[X_{1},X_{2},X_{3}]\subset \ldots \subset R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper.

Dann ist ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Korollar 9.5.

$\Box$

Der Hilbertsche Basissatz bedeutet insbesondere, dass jede abgeschlossene Untervarietät ${}V\subset \mathbb {A} _{K}^{n}$ in einem affinen Raum durch endlich viele Polynome beschrieben werden kann. Jedes algebraische Nullstellengebilde ist also bereits das Nullstellengebilde von endlich vielen Polynomen.

Korollar

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge.

Dann gibt es eine Abbildung

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}},$

die komponentenweise durch Polynome ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gegeben ist, also ${}\varphi =(F_{1},\ldots ,F_{m})$, derart, dass ${}V$ das Urbild des Nullpunktes ${}0\in \mathbb {A} _{K}^{m}$ ist.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein beschreibendes Ideal für ${}V$, also ${}V=V({\mathfrak {a}})$. Nach dem Hilbertschen Basissatz gibt es ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}{\mathfrak {a}}=(F_{1},\ldots ,F_{m})$. Damit ist insbesondere

${}V=V({\mathfrak {a}})=V(F_{1})\cap \ldots \cap V(F_{m})\,.$

Diese ${}F_{i}$ kann man zu einer Abbildung

$\varphi =(F_{1},\ldots ,F_{m})\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$

zusammenfassen. Dann ist ${}\varphi (P)=0$ genau dann, wenn alle Komponentenfunktionen null sind, und das ist genau dann der Fall, wenn ${}P\in V(F_{i})$ ist für alle ${}i$.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine ${}R$- Algebra ${}A$ heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

besitzt.

Eine endlich erzeugte ${}R$-Algebra besitzt also eine Darstellung als Restklassenring einer Polynomalgebra über ${}R$ in endlich vielen Variablen. Eine solche Darstellung ist keineswegs eindeutig.

Korollar

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist jede ${}R$- Algebra von endlichem Typ ebenfalls noethersch. Insbesondere ist für einen Körper ${}K$ jede ${}K$-Algebra von endlichem Typ noethersch.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 9.5 und aus Lemma 9.3.

$\Box$

Zerlegung in irreduzible Komponenten

Aus dem Hilbertschen Basissatz folgt, dass eine aufsteigende Idealkette

${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ stationär werden muss. Dies hat für absteigende Ketten von affin-algebraischen Teilmengen in einem affinem Raum folgende Konsequenz.

Satz

In einem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ wird jede absteigende Folge von abgeschlossenen Mengen

$V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$

stationär.

Beweis

Es sei

$V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$

eine absteigende Kette von affin-algebraischen Teilmengen im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Daraus folgt nach Lemma 3.6 ${}\operatorname {Id} \,(V_{i})\subseteq \operatorname {Id} \,(V_{i+1})$ für die zugehörigen Verschwindungsideale. Nach Korollar 9.6 wird diese Idealkette stationär, sagen wir für ${}i\geq i_{0}$. Nach Lemma 3.7  (3) ist ${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))$. Daraus folgt dann aber für ${}i\geq i_{0}$, dass

${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))=V(\operatorname {Id} \,(V_{i+1}))=V_{i+1}\,,$

sodass die absteigende Kette stationär werden muss.

$\Box$

Es ergibt sich daraus durch Übergang zu den Komplementen, dass jede aufsteigende Kette von Zariski-offenen Mengen in einem affinen Raum stationär wird. Eine solche Topologie nennt man auch noethersch (generell nennt man eine (partielle) Ordnung, für die jede aufsteigende Kette stationär wird, noethersch). Für einen noetherschen Raum gilt: jede nichtleere Teilmenge von offenen Mengen (abgeschlossenen Mengen) besitzt ein maximales (minimales) Element. Dies kann man vorteilhaft als Beweisprinzip einsetzen (Beweis durch noethersche Induktion): Man möchte zeigen, dass eine gewisse Eigenschaft ${}E$ für alle abgeschlossenen Teilmengen gilt, und man betrachtet die Menge derjenigen abgeschlossenen Teilmengen, die ${}E$ nicht erfüllen. Man möchte zeigen, dass die Menge leer ist, und nimmt an, dass sie nicht leer ist. Dann besitzt sie auch ein minimales Element, und dies muss man dann zum Widerspruch führen. Die Gültigkeit dieses Beweisprinzips beruht darauf, dass man in einer nicht-leeren Menge ohne einem minimalen Element eine unendlich absteigende Kette konstruieren kann. Ein typisches Beispiel für dieses Beweisprinzip liefert der Beweis der folgenden Aussage.

Satz

Sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge.

Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung ${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ mit irreduziblen Mengen ${}V_{i}$ mit ${}V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für ${}i\neq j$.

Beweis

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir ${}V$, ohne eine solche Zerlegung. ${}V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung ${}V=V_{1}\cup V_{2}$. Da ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ echte Teilmengen von ${}V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von ${}V$, was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Seien

${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}=W_{1}\cup \ldots \cup W_{m}\,$

zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist

${}V_{1}=V_{1}\cap V=V_{1}\cap (W_{1}\cup \ldots \cup W_{m})=(V_{1}\cap W_{1})\cup \ldots \cup (V_{1}\cap W_{m})\,.$

Da ${}V_{1}$ irreduzibel ist, muss ${}V_{1}\subseteq W_{j}$ für ein ${}j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument ${}W_{j}\subseteq V_{i}$ für ein ${}i$, woraus ${}i=1$ und ${}V_{1}=W_{j}$ folgt. Ebenso findet sich ${}V_{2}$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.

$\Box$

Moduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
4. ${}1u=u$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element ${}v\in M$ eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$

gibt, wobei ${}J\subseteq I$ endlich ist und ${}r_{i}\in R$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Ein kommutativer Ring ${}R$ selbst ist in natürlicher Weise ein ${}R$-Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert. Die Ideale sind dann genau die ${}R$-Untermoduln von ${}R$. Die Begriffe Ideal-Erzeugendensystem und Modul-Erzeugendensystem stimmen für Ideale überein.

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