Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 29/latex

\setcounter{section}{29}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Inwiefern kann man in der algebraischen Geometrie durch $0$ teilen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {D_+(X_0) \cup D_+(X_1) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) } }
{ =} { K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{K} \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \} } { {\mathbb P}^{n-1}_{K} } {} auf den affinen Stücken
\mathl{D_+(X_i)}{} eine Projektion \maabbdisp {} { D_+(X_i) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n-1 } } \times {\mathbb A}^{1}_{K} } { D_+(X_i) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n-1 } } } {} ist. Zeige, dass somit ein \definitionsverweis {Geradenbündel}{}{} über dem
\mathl{{\mathbb P}^{n-1}_{K}}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das durch die \definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{K} \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \} } { {\mathbb P}^{n-1}_{K} } {} gegebene \definitionsverweis {Geradenbündel}{}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht trivial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\pi} { {\mathbb P}^{n}_{K} \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \} } { {\mathbb P}^{n-1}_{K} } {} die \definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{} und sei
\mathl{a=(a_1 , \ldots , a_n) \in K^{n+1}}{.} Zeige, dass \maabbeledisp {s_a} { {\mathbb P}^{n-1}_{K} } {{\mathbb P}^{n}_{K} \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \} } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( \sum_{i = 1}^n a_ix_i , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } {} ein \definitionsverweis {Schnitt}{}{} zu $\pi$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b) }
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichung für die Urbildgerade zur \definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{ (1,0,0) \} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(x,y,z)} { (y,z) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Einschränkung der \definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{ P \} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} auf eine jede Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die nicht durch $P$ geht, einen Isomorphismus induziert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V_+ { \left( X^2+Y^2+Z^2 \right) } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} der durch die \definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{(1,0,0)\}} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(x,y,z)} { (y,z) } {,} definierte \definitionsverweis {Morphismus}{}{.} Bestimme das Urbild des Punktes
\mathl{(3,5) \in {\mathbb P}^{1}_{K}}{.}

}
{} {}

Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der \definitionsverweis {Separabilität für Polynome}{}{} und den Charakterisierungssatz für separable Polynome.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} vom Grad $d$ und sei \maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} der durch eine \definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \notin }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {Morphismus}{}{.} Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus genau $d$ Punkten besteht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p>0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V { \left( YZ^{p-1} +X^p \right) } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der durch die \definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
\mathl{(1,0,0)}{} definierte \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $F\in K[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Interpretiere $F$ als \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {.} Was ist
\mathl{F(\infty)}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{G/H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Interpretiere $F$ als \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{.} Es sei
\mathl{P \in C}{} ein Punkt der Kurve und sei \maabbdisp {\varphi} {C \setminus \{P\} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} der durch die \definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{} definierte \definitionsverweis {Morphismus}{}{.} Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt
\mathbed {Q \in C} {}
{Q \neq P} {}
{} {} {} {,} auf die durch \mathkor {} {Q} {und} {P} {} gegebene \stichwort {Sekante} {} abgebildet. \aufzaehlungdrei{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $Q_n$ eine Folge auf $C$, die in der \definitionsverweis {komplexen Topologie}{}{} gegen $P$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Konvergiert $\varphi(Q_n)$? }{Besitzt $\varphi(Q_n)$ einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{?} }{Es sei $P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz $C$ gibt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere die Situation aus Aufgabe 29.13 für das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(YZ) }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und den Kreuzungspunkt
\mathl{(1,0,0)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{G/H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} über den reellen Zahlen $\R$ \zusatzklammer {oder den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$} {} {} mit dem zugehörigen \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K} } } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K}} } {.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F( \infty) }
{ =} { c }
{ \in} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ G(n) }{ H(n) } }} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} gegen $c$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} \zusatzklammer {was für
\mathl{c=\infty}{} sinnvoll zu interpretieren ist} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte die affine ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( Y-X^3+X+2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und dem \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} $\bar{C} \subset {\mathbb P}^{2}_{K}$ fortsetzen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V_+ { \left( X^2+Y^2+Z^2 \right) } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde eine projektive Parametrisierung von $C$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien
\mathl{G,H \in K[X]}{} \definitionsverweis {Polynome in einer Variablen}{}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ > }{ e }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bmerkung 29.9 beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion
\mathl{G/H}{,} also \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {{\mathbb P}^{2}_{K} } {(x,y)} { \left( \hat{ H }(x,y) x y^{d-e-1} , \, \hat{ G }(x,y) , \, \hat{ H }(x,y) y^ {d-e} \right) } {,} in der Tat die in Satz 29.8 gegebene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{ H } (X,Z)YZ^{d-e-1}- \hat{ G } (X,Z) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien
\mathl{G,H \in K[X]}{} \definitionsverweis {Polynome in einer Variablen}{}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \leq }{ e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bmerkung 29.9 beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion
\mathl{G/H}{,} also \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {{\mathbb P}^{2}_{K} } {(x,y)} { \left( \hat{ H }(x,y) x , \, \hat{ G }(x,y) y^{e-d+1} , \, \hat{ H }(x,y) y \right) } {,} in der Tat die in Satz 29.8 gegebene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{ H } (X,Z)Y- \hat{ G } (X,Z)Z^{e-d+1} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch die homogene Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ZX^2 }
{ =} {Y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene projektive Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über einem Körper $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$.

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {\varphi: (S,T) \longmapsto \left( T^3 , \, ST^2 , \, S^3 \right) =(X,Y,Z)} { }
eine wohldefinierte Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{} } { {\mathbb P}^{2}_{} } {} gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${\mathbb P}^{1}_{}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{P=(a_0 , \ldots , a_n) \in {\mathbb P}^{n}_{K}}{} ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des ${\mathbb P}^{n}_{K}$ auf ${\mathbb P}^{n-1}_{K}$ mit Zentrum $P$ durch die Matrix
\mathdisp {} { }
gegeben ist, also durch die Abbildung
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_0 \\x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_0 \\x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{{\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {glatte Kurve}{}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabb {} {C} {{\mathbb P}^{1}_{K} } {} derart gibt, dass jede Faser aus maximal
\mathl{d-1}{} Punkten besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{C=V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) } \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} die \stichwort {Fermat-Kubik} {} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus
\mathl{C \rightarrow {\mathbb P}^{1}_{K}}{,} bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{C \subset {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}}{} der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \rightarrow C}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{C \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} eine glatte Quadrik \zusatzklammer {also eine Kurve vom Grad zwei} {} {} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-Z^2X^2+Z^2Y^2 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?

}
{} {}