Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 29

Übungsaufgaben

Aufgabe

Inwiefern kann man in der algebraischen Geometrie durch ${}0$ teilen?

Aufgabe

Es sei

${}U=D_{+}(X_{0})\cup D_{+}(X_{1})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,.$

Zeige

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$

auf den affinen Stücken ${}D_{+}(X_{i})$ eine Projektion

$D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}$

ist. Zeige, dass somit ein Geradenbündel über dem ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ vorliegt.

Aufgabe

Zeige, dass das durch die Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$

gegebene Geradenbündel bei ${}n\geq 2$ nicht trivial ist.

Aufgabe

Es sei

$\pi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$

die Projektion weg von einem Punkt und sei ${}a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n+1}$. Zeige, dass

$s_{a}\colon {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\},\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$

ein Schnitt zu ${}\pi$ ist.

Aufgabe *

Bestimme zu einem Punkt ${}(a,b)\in {\mathbb {P} }_{}^{1}$ die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z).$

Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung der Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

auf eine jede Gerade ${}G\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$, die nicht durch ${}P$ geht, einen Isomorphismus induziert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}C=V_{+}{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z),$

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes ${}(3,5)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$.

Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der Separabilität für Polynome und den Charakterisierungssatz für separable Polynome.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch eine Projektion weg von einem Punkt ${}P\notin C$ definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt ${}t\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ aus genau ${}d$ Punkten besteht.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}p>0$ und sei ${}C=V{\left(YZ^{p-1}+X^{p}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Zeige, dass der durch die Projektion weg vom Punkt ${}(1,0,0)$ definierte Morphismus

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Interpretiere ${}F$ als Morphismus

$F\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Was ist ${}F(\infty )$?

Aufgabe

Es sei ${}F=G/H$ eine rationale Funktion über dem Körper ${}K$. Interpretiere ${}F$ als Morphismus

$F\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve. Es sei ${}P\in C$ ein Punkt der Kurve und sei

$\varphi \colon C\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt ${}Q\in C$, ${}Q\neq P$, auf die durch ${}Q$ und ${}P$ gegebene Sekante abgebildet.

1. Sei ${}K={\mathbb {C} }$ und sei ${}Q_{n}$ eine Folge auf ${}C$, die in der komplexen Topologie gegen ${}P$ konvergiert. Konvergiert ${}\varphi (Q_{n})$?
2. Besitzt ${}\varphi (Q_{n})$ einen Häufungspunkt?
3. Es sei ${}P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz ${}C$ gibt.

Aufgabe

Diskutiere die Situation aus Aufgabe 29.13 für das Achsenkreuz

${}V_{+}(YZ)\subset {\mathbb {P} }_{}^{2}\,$

und den Kreuzungspunkt ${}(1,0,0)$.

Aufgabe

Es sei ${}F=G/H$ eine rationale Funktion über den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ (oder den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$) mit dem zugehörigen Morphismus

$F\colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}.$

Zeige, dass

${}F(\infty )=c\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}\,$

genau dann gilt, wenn die Folge

${\frac {G(n)}{H(n)}}$

für ${}n\rightarrow \infty$ gegen ${}c$ konvergiert (was für ${}c=\infty$ sinnvoll zu interpretieren ist).

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

${}C=V{\left(Y-X^{3}+X+2\right)}\,.$

Definiere einen Isomorphismus zwischen ${}C$ und der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und dem projektiven Abschluss ${}{\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ fortsetzen?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}C=V_{+}{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Finde eine projektive Parametrisierung von ${}C$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}G,H\in K[X]$ Polynome in einer Variablen vom Grad ${}d>e\geq 0$ ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bmerkung 29.9 beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion ${}G/H$, also

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},\,{\hat {G}}(x,y),\,{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right),$

in der Tat die in Satz 29.8 gegebene Gleichung ${}{\hat {H}}(X,Z)YZ^{d-e-1}-{\hat {G}}(X,Z)=0$ erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}G,H\in K[X]$ Polynome in einer Variablen vom Grad ${}d\leq e$ ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bmerkung 29.9 beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion ${}G/H$, also

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)x,\,{\hat {G}}(x,y)y^{e-d+1},\,{\hat {H}}(x,y)y\right),$

in der Tat die in Satz 29.8 gegebene Gleichung ${}{\hat {H}}(X,Z)Y-{\hat {G}}(X,Z)Z^{e-d+1}=0$ erfüllt.

Aufgabe

Betrachte die durch die homogene Gleichung

${}ZX^{2}=Y^{3}\,$

gegebene projektive Kurve ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$.

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung

$\varphi :(S,T)\longmapsto \left(T^{3},\,ST^{2},\,S^{3}\right)=(X,Y,Z)$

eine wohldefinierte Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{2}$

gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von ${}\varphi$ auf der Kurve ${}C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{}^{1}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve ${}C$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}P=(a_{0},\ldots ,a_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ auf ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ mit Zentrum ${}P$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n}&0&0&\cdots &a_{0}\\&&&&\end{pmatrix}}$

gegeben ist, also durch die Abbildung

${\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}-a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n}&0&0&\cdots &a_{0}\\&&&&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve vom Grad ${}d\geq 2$. Zeige, dass es einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ derart gibt, dass jede Faser aus maximal ${}d-1$ Punkten besteht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}C=V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${}\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$, bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow C$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Quadrik (also eine Kurve vom Grad zwei) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli

${}V_{+}{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-Z^{2}X^{2}+Z^{2}Y^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?