Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 29

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Inwiefern kann man in der algebraischen Geometrie durch teilen?


Aufgabe

Es sei

Zeige


Aufgabe

Zeige, dass die Projektion weg von einem Punkt

auf den affinen Stücken eine Projektion

ist. Zeige, dass somit ein Geradenbündel über dem vorliegt.


Aufgabe

Zeige, dass das durch die Projektion weg von einem Punkt

gegebene Geradenbündel bei nicht trivial ist.


Aufgabe

Es sei

die Projektion weg von einem Punkt und sei . Zeige, dass

ein Schnitt zu ist.


Aufgabe *

Bestimme zu einem Punkt die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt


Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung der Projektion weg von einem Punkt

auf eine jede Gerade , die nicht durch geht, einen Isomorphismus induziert.


Aufgabe *

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei und sei

der durch die Projektion weg vom Punkt

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes .


Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der Separabilität für Polynome und den Charakterisierungssatz für separable Polynome.

Aufgabe *

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und sei eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad und sei

der durch eine Projektion weg von einem Punkt definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt aus genau Punkten besteht.


Aufgabe *

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und sei . Zeige, dass der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus

bijektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Polynom. Interpretiere als Morphismus

Was ist ?


Aufgabe

Es sei eine rationale Funktion über dem Körper . Interpretiere als Morphismus


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine ebene projektive Kurve. Es sei ein Punkt der Kurve und sei

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt , , auf die durch und gegebene Sekante abgebildet.

  1. Sei und sei eine Folge auf , die in der komplexen Topologie gegen konvergiert. Konvergiert ?
  2. Besitzt einen Häufungspunkt?
  3. Sei ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz gibt.


Aufgabe

Diskutiere die Situation aus Aufgabe 29.13 für das Achsenkreuz

und den Kreuzungspunkt .


Aufgabe

Es sei eine rationale Funktion über den reellen Zahlen (oder den komplexen Zahlen ) mit dem zugehörigen Morphismus

Zeige, dass

genau dann gilt, wenn die Folge

für gegen konvergiert (was für sinnvoll zu interpretieren ist).


Aufgabe *

Sei ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

Definiere einen Isomorphismus zwischen und der affinen Geraden . Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen und dem projektiven Abschluss fortsetzen?


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei . Finde eine projektive Parametrisierung von .


Aufgabe *

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome in einer Variablen vom Grad ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bmerkung 29.9 beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion , also

in der Tat die in Satz 29.8 gegebene Gleichung erfüllt.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome in einer Variablen vom Grad ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bmerkung 29.9 beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion , also

in der Tat die in Satz 29.8 gegebene Gleichung erfüllt.


Aufgabe

Betrachte die durch die homogene Gleichung

gegebene projektive Kurve über einem Körper der Charakteristik .

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung

eine wohldefinierte Abbildung

gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von auf der Kurve liegen.

d) Welche Punkte in entsprechen den singulären Punkten der Kurve .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des auf mit Zentrum durch die Matrix

gegeben ist, also durch die Abbildung


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine glatte Kurve vom Grad . Zeige, dass es einen Morphismus derart gibt, dass jede Faser aus maximal Punkten besteht.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik . Beschreibe explizit einen Morphismus , bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung .


Aufgabe (6 Punkte)

Sei eine glatte Quadrik (also eine Kurve vom Grad zwei) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli

einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?



<< | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)