Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Aufgabe

Aufgabe

Zeige, dass eine projektive Varietät über ${}{\mathbb {C} }$ in der natürlichen Topologie kompakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y$ eine projektive Varietät über ${}{\mathbb {C} }$, die zugleich eine affine Varietät sei. Zeige, dass ${}Y$ eine endliche Punktmenge ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

Aufgabe *

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

${}V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

$\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}},\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)$

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich ${}0$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

$\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}.$

Was folgt daraus für einen Morphismus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

Aufgabe

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.

Aufgabe

Definiere zu jedem ${}n\in \mathbb {Z}$ das Potenzieren ${}x\mapsto x^{n}$ als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?

Aufgabe

Es sei ${}f\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$ und sei

${}D_{+}(f)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom ${}h\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ vom Grad ${}e$ die rationale Funktion ${}{\frac {h}{f^{n}}}$ unter der Bedingung ${}e=nd$ eine algebraische Funktion

${\frac {h}{f^{n}}}\colon D_{+}(f)\longrightarrow K$

definiert.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiprojektive Varietäten und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Es sei ${}Y=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen ${}\varphi _{i}:\varphi ^{-1}(U_{i})\rightarrow U_{i}$ für jedes ${}i$ Morphismen sind

Aufgabe

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ Punkte im projektiven Raum über einem Körper ${}K$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ mit ${}\varphi (P)=Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Automorphismus

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \varphi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

   induziert.

2. Bestimme das Urbild von ${}D_{+}(X_{i})$ in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
3. Zeige, dass ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\neq 0$ ineinander überführbar sind.
4. Induziert jede lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ einen Morphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$?

Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät ${}V\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem projektiv-linearen Koordinatenwechsel. Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Die Restklassengruppe

$\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}/{\left(K^{\times }\cdot \operatorname {Id} \cap \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\right)}$

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

$\operatorname {PSL} _{n}\!{\left(K\right)}$

bezeichnet.

Aufgabe *

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel

${}V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel

${}V{\left(Y-X^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss

${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen über einem Körper ${}K$ und sei ${}V(Y-F)\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$ der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen.

Aufgabe

Es seien ${}F,G\in K[X],\,G\neq 0$, Polynome in einer Variablen über einem Körper ${}K$ und sei ${}F/G$ die zugehörige rationale Funktion. Es sei ${}V\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$ der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?

Aufgabe

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss

${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

zusätzliche Punkte enthält.

Aufgabe *

Ist die ebene projektive Kurve ${}V_{+}{\left(X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Aufgabe

Es sei ${}(H)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals ${}(H)$ gleich dem von der Homogenisierung von ${}H$ erzeugten Hauptideal ist.

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

$V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{4}+Y^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$ und den projektiven Abschluss von ${}V$.
2. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{4}+Y^{2}$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

über dem Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ mit zwei Elementen.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$.
2. Bestimme den projektiven Abschluss von ${}V$.
3. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{2}+Y^{2}+1$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ mit ${}V$ übereinstimmt.

Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch ${}V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-X^{2}+Y^{2}\right)}$ gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}m+1$ homogene Polynome ${}F_{0},\ldots ,F_{m}$ in ${}n+1$ Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad ${}d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{m}$

definieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

den Zariski-Abschluss im ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge ${}V({\mathfrak {a}})\cap {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X$ eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper ${}L=K(X)$. Es seien ${}U$ und ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Teilmengen mit ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$. Zeige, dass

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{i\in I}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}})\,$

ist, wobei der Durchschnitt in ${}L$ genommen wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$

Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Tschirnhausen Kubik

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die durch ${}V{\left(X^{3}+3X^{2}-Y^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das durch ${}V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY\right)}$ definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.