Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 28

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kompakter Raum und es sei eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ebenfalls kompakt ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine projektive Varietät über in der natürlichen Topologie kompakt ist.


Aufgabe

Es sei eine projektive Varietät über , die zugleich eine affine Varietät sei. Zeige, dass eine endliche Punktmenge ist.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.


Aufgabe *

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Aufgabe *

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Aufgabe *

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich sind.


Aufgabe

Sei ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

Was folgt daraus für einen Morphismus ?


Aufgabe *

Sei ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.


Aufgabe

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.


Aufgabe

Definiere zu jedem das Potenzieren als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?


Aufgabe

Es sei ein homogenes Polynom vom Grad und sei

die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom vom Grad die rationale Funktion unter der Bedingung eine algebraische Funktion

definiert.


Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass die Kegelabbildung

ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.


Aufgabe

Seien und quasiprojektive Varietäten und sei eine stetige Abbildung. Es sei eine offene Überdeckung. Zeige, dass genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen für jedes Morphismen sind


Aufgabe

Es seien Punkte im projektiven Raum über einem Körper . Zeige, dass es einen Automorphismus mit gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der zugehörige projektive Raum. Es sei eine bijektive lineare Abbildung.

  1. Zeige, dass einen Automorphismus

    induziert.

  2. Bestimme das Urbild von in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
  3. Zeige, dass und genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind.
  4. Induziert jede lineare Abbildung einen Morphismus ?


Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem projektiv-linearen Koordinatenwechsel. Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei ein Körper und . Die Restklassengruppe

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

bezeichnet.


Aufgabe *

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel


Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel


Aufgabe

Es sei eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss

glatt ist.


Aufgabe

Es sei ein Polynom in einer Variablen über einem Körper und sei der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss des Graphen.


Aufgabe

Es seien , Polynome in einer Variablen über einem Körper und sei die zugehörige rationale Funktion. Es sei der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?


Aufgabe

Es sei eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss

zusätzliche Punkte enthält.


Aufgabe *

Ist die ebene projektive Kurve isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?


Aufgabe

Es sei ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals gleich dem von der Homogenisierung von erzeugten Hauptideal ist.


Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.


Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

über .

  1. Bestimme die Punkte von und den projektiven Abschluss von .
  2. Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.


Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

über dem Körper mit zwei Elementen.

  1. Bestimme die Punkte von .
  2. Bestimme den projektiven Abschluss von .
  3. Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von mit übereinstimmt.


Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in . Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Seien homogene Polynome in Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

definieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kegelabbildung

den Zariski-Abschluss im des Bildes einer abgeschlossenen Menge .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper . Es seien und , , offene Teilmengen mit . Zeige, dass

ist, wobei der Durchschnitt in genommen wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und der projektive Raum. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Tschirnhausen Kubik


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die durch gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das durch definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.


<< | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)