Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ und einer
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} einer
\definitionsverweis {endlichen Gruppe}{}{} $G$ auf $R$ derart, dass nicht jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R^G \subseteq S \subseteq R} {}
{} {} {} {,} der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{} zu einer Untergruppe von $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$K$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$. Interpretiere
den Satz über die Galoiskorrespondenz
für die
\definitionsverweis {normalen}{}{}
Zwischenringe zwischen
\mathkor {} {R} {und} {S} {.}
Welche Gruppen wirken auf diesen Ringen und wie sehen die
\definitionsverweis {Invariantenringe}{}{}
aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element derart, dass
\mathbed {f \sigma} {}
{\sigma \in G} {}
{} {} {} {,}
eine
$R$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $S$ ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
\mathdisp {H_1 = H, H_2 , \ldots , H_k} { . }
Zeige, dass die Familie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_j
}
{ =} { \sum_{ \sigma \in H_j } f \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $R$-Basis des Invariantenringes
\mathl{S^H}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige die folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Für die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R^G \right) }^{\times}
}
{ =} { R^G \cap R^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {
Wenn $R$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist, so ist auch $R^G$ ein Körper.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
operiere. Zeige, dass die Operation genau dann
\definitionsverweis {trivial}{}{} ist, wenn
\mathl{R^G=R}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
mit
\mathl{2 \neq 0}{} und
\mathl{a \in S}{.} Zeige, dass die Gruppe
\mathl{\Z/(2) \cong \{1,-1\}}{} auf der
\definitionsverweis {quadratischen Erweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \defeq} {S[X]/(X^2-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Gruppe von
$S$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
operiert, indem $-1$ durch $X \mapsto -X$ wirkt. Bestimme den
\definitionsverweis {Fixring}{}{}
zu dieser Operation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige, dass zu jedem
\mathl{f \in R}{} sowohl
\mathkor {} {\sum_{\sigma \in G} f \sigma} {als auch} {\prod_{\sigma \in G} f \sigma} {} zum
\definitionsverweis {Fixring}{}{} $R^G$ gehören.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
$G$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Zu jedem
\mathl{k \in \N}{} und jedem
\mathl{f \in R}{} ist der Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi_k(f)
}
{ =} { \sum_{T \subseteq G,\, { \# \left( T \right) } = k } \prod_{\sigma \in T} f \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invariant}{}{.}
}{Wenn $R$ einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ enthält, so erzeugen die
\mathbed {\psi_k(f)} {}
{f \in R} {,}
{k \in \N} {} {} {,}
den Invariantenring.
}{Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R)
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )$ in natürlicher Weise auf der
\definitionsverweis {Divisorengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Div} { \left( S \right) }}{}
\definitionsverweis {operiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R)
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )$ in natürlicher Weise auf der
\definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{DKG} { \left( S \right) }}{}
\definitionsverweis {operiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass auf
\mathl{K[X,Y]/(XY)}{} eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} von
\mathl{\Z/(2)}{} gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement
\mathkor {} {X} {und} {Y} {} vertauscht. Bestimme den
\definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte auf dem
\definitionsverweis {rationalen Funktionenkörper}{}{}
${\mathbb C} (X)$ die Gruppe der
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{,}
die durch
\mathl{X \mapsto \zeta_n X}{} erzeugt wird, wobei $\zeta_n$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme den
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
${\mathbb C}(X)^{ \Z/(n) }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{} $p$. Wir betrachten die durch
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf
\mathl{K[X,Y]}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{} gleich
\mathdisp {K[Y, X^p - XY^{p-1}]} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {unendlicher Körper}{}{.}
Wir betrachten auf dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K(X,Y)}{} die
\definitionsverweis {Operation}{}{} von
\mathl{K^{\times}}{,} wobei
\mathl{\lambda \in K^{\times}}{} durch
\mathl{X \mapsto \lambda X, \,Y \mapsto \lambda Y}{} auf
\mathl{K[X,Y]}{} wirkt und diese Wirkung auf den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
fortgesetzt wird. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Fixring}{}{}
zu dieser Operation gleich $K { \left( { \frac{ X }{ Y } } \right) }$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem kommutativen \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} $R^G$ ebenfalls lokal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{,}
das unter der Gruppenoperation
\definitionsverweis {invariant}{}{} ist
\zusatzklammer {es gelte also
\mathl{f \sigma \in {\mathfrak a}}{} für
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} und jedes
\mathl{\sigma \in G}{}} {} {.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Es gibt eine natürliche Operation von $G$ auf dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.}
}{Es gibt einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} {R^G/ { \left( {\mathfrak a} \cap R^G \right) } } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^G
} {.}
}{Die Abbildung $\psi$ aus Teil (2) ist injektiv.
}{Wenn $G$ endlich ist und $R$ einen Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ enthält, so ist $\psi$ surjektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche Operation von $G$ auf
\mathl{R_T}{} gibt, und dass der zugehörige Invariantenring gleich $S_T$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( S \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche Operation von $G$ auf dem
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
\mathl{{ \left( R/ {\mathfrak p}R \right) }_{S \setminus {\mathfrak p} }}{} gibt. Zeige, dass der zugehörige Invariantenring den
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa ( {\mathfrak p} )}{} enthält. Zeige durch ein Beispiel, dass dabei der Restekörper echt kleiner sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $G$ in natürlicher Weise auch auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$R[X]$ operiert, und dass der zugehörige Invariantenring gleich
\mathl{S[X]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \prod_{\sigma \in G} (X- f\sigma )
}
{ \in} { R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter der natürlichen Operation von $G$ auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$R[X]$
\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist.
}
{} {}
Betrachte unter diesem Aspekt nochmal Aufgabe 21.7 und Aufgabe 21.8.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass der Ganzheitsring $T$ von $R$ in $M$ gleich dem
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
$S^H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Erweiterung von
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Aut}_R \,(S)}{} in natürlicher Weise auf dem
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
$\Omega_{ S {{|}} R }$
$R$-\definitionsverweis {linear}{}{}
\definitionsverweis {operiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K_5$ der fünfte
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
und $R_5$ der fünfte
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.}
Bestimme die
$3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,}
die die
\definitionsverweis {Operation}{}{}
der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( K_5 {{|}} \Q )}{} auf dem
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus
Beispiel 19.8
beschreiben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K_7$ der fünfte
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
und $R_7$ der fünfte
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.}
Bestimme die
$5 \times 5$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,}
die die
\definitionsverweis {Operation}{}{}
der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( K_7 {{|}} \Q )}{} auf dem
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus
Beispiel 19.8
beschreiben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Es sei
\mathl{\operatorname{Perm} \,( M)}{} die
\definitionsverweis {Gruppe der Permutationen}{}{}
auf $M$. Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn $G$ auf $M$
\definitionsverweis {operiert}{}{,}
so ist die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { (x \mapsto gx)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
} {Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {\varphi} {G} {\operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { \varphi(x)
} {,}
vorliegt, so wird durch
\maabbeledisp {} {G\times M} {M
} {(g,x)} { (\varphi(g))(x)
} {,}
eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ definiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der $n$-ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf ${\mathbb C}$. Bestimme die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
und die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
dieser Operation. Kann man die
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{}
durch eine polynomiale Funktion realisieren?
}
{} {}