Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 21

Aufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Integritätsbereich ${}R$ und einer Gruppenoperation einer endlichen Gruppe ${}G$ auf ${}R$ derart, dass nicht jeder Zwischenring ${}S$, ${}R^{G}\subseteq S\subseteq R$, der Invariantenring zu einer Untergruppe von ${}G$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Interpretiere den Satz über die Galoiskorrespondenz für die normalen Zwischenringe zwischen ${}R$ und ${}S$. Welche Gruppen wirken auf diesen Ringen und wie sehen die Invariantenringe aus?

Aufgabe *

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit einer Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und es sei ${}f\in S$ ein Element derart, dass ${}f\sigma$, ${}\sigma \in G$, eine ${}R$- Basis von ${}S$ ist. Es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe mit den Nebenklassen

$H_{1}=H,H_{2},\ldots ,H_{k}.$

Zeige, dass die Familie

${}f_{j}=\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \,$

zu ${}j=1,\ldots ,k$ eine ${}R$-Basis des Invariantenringes ${}S^{H}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.

1. Für die Einheiten gilt

   ${}{\left(R^{G}\right)}^{\times }=R^{G}\cap R^{\times }\,.$

2. Wenn ${}R$ ein Körper ist, so ist auch ${}R^{G}$ ein Körper.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn ${}R^{G}=R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring mit ${}2\neq 0$ und ${}a\in S$. Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\cong \{1,-1\}$ auf der quadratischen Erweiterung

${}R:=S[X]/(X^{2}-a)\,$

als Gruppe von ${}S$- Algebrahomomorphismen operiert, indem ${}-1$ durch ${}X\mapsto -X$ wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass zu jedem ${}f\in R$ sowohl ${}\sum _{\sigma \in G}f\sigma$ als auch ${}\prod _{\sigma \in G}f\sigma$ zum Fixring ${}R^{G}$ gehören.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und jedem ${}f\in R$ ist der Ausdruck

   ${}\psi _{k}(f)=\sum _{T\subseteq G,\,{\#\left(T\right)}=k}\prod _{\sigma \in T}f\sigma \,$

   invariant.

2. Wenn ${}R$ einen Körper der Charakteristik ${}0$ enthält, so erzeugen die ${}\psi _{k}(f)$, ${}f\in R$ , ${}k\in \mathbb {N}$, den Invariantenring.
3. Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Zeige, dass die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ in natürlicher Weise auf der Divisorengruppe ${}\operatorname {Div} {\left(S\right)}$ operiert.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Zeige, dass die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ in natürlicher Weise auf der Divisorenklassengruppe ${}\operatorname {DKG} {\left(S\right)}$ operiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass auf ${}K[X,Y]/(XY)$ eine Gruppenoperation von ${}\mathbb {Z} /(2)$ gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement ${}X$ und ${}Y$ vertauscht. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper ${}{\mathbb {C} }(X)$ die Gruppe der ${}{\mathbb {C} }$- Körperautomorphismen, die durch ${}X\mapsto \zeta _{n}X$ erzeugt wird, wobei ${}\zeta _{n}$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme den Fixkörper ${}{\mathbb {C} }(X)^{\mathbb {Z} /(n)}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Wir betrachten die durch ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf ${}K[X,Y]$. Zeige, dass der Invariantenring gleich

$K[Y,X^{p}-XY^{p-1}]$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf dem Körper ${}K(X,Y)$ die Operation von ${}K^{\times }$, wobei ${}\lambda \in K^{\times }$ durch ${}X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y$ auf ${}K[X,Y]$ wirkt und diese Wirkung auf den Quotientenkörper fortgesetzt wird. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${}K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring ${}R^{G}$ ebenfalls lokal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also ${}f\sigma \in {\mathfrak {a}}$ für ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und jedes ${}\sigma \in G$). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche Operation von ${}G$ auf dem Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$.
2. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\psi \colon R^{G}/{\left({\mathfrak {a}}\cap R^{G}\right)}\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{G}.$

3. Die Abbildung ${}\psi$ aus Teil (2) ist injektiv.
4. Wenn ${}G$ endlich ist und ${}R$ einen Körper der Charakteristik ${}0$ enthält, so ist ${}\psi$ surjektiv.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring ${}S=R^{G}$. Es sei ${}T\subseteq S$ ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Operation von ${}G$ auf ${}R_{T}$ gibt, und dass der zugehörige Invariantenring gleich ${}S_{T}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring ${}S=R^{G}$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass es eine natürliche Operation von ${}G$ auf dem Faserring ${}{\left(R/{\mathfrak {p}}R\right)}_{S\setminus {\mathfrak {p}}}$ gibt. Zeige, dass der zugehörige Invariantenring den Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ enthält. Zeige durch ein Beispiel, dass dabei der Restekörper echt kleiner sein kann.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring ${}S=R^{G}$. Zeige, dass ${}G$ in natürlicher Weise auch auf dem Polynomring ${}R[X]$ operiert, und dass der zugehörige Invariantenring gleich ${}S[X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ${}f\in R$. Zeige, dass das Polynom

${}P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,$

unter der natürlichen Operation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}R[X]$ invariant ist.

Betrachte unter diesem Aspekt nochmal Aufgabe 21.7 und Aufgabe 21.8.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe mit dem Fixkörper ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$. Zeige, dass der Ganzheitsring ${}T$ von ${}R$ in ${}M$ gleich dem Invariantenring ${}S^{H}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine Erweiterung von kommutativen Ringen. Zeige, dass die Automorphismengruppe ${}\operatorname {Aut} _{R}\,(S)$ in natürlicher Weise auf dem Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{S{|}R}$ ${}R$- linear operiert.

Aufgabe *

Es sei ${}K_{5}$ der fünfte Kreisteilungskörper und ${}R_{5}$ der fünfte Kreisteilungsring. Bestimme die ${}3\times 3$- Matrizen, die die Operation der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )$ auf dem Modul der Kähler-Differentiale bezüglich der Basis aus Beispiel 19.8 beschreiben.

Aufgabe

Es sei ${}K_{7}$ der fünfte Kreisteilungskörper und ${}R_{7}$ der fünfte Kreisteilungsring. Bestimme die ${}5\times 5$- Matrizen, die die Operation der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(K_{7}{|}\mathbb {Q} )$ auf dem Modul der Kähler-Differentiale bezüglich der Basis aus Beispiel 19.8 beschreiben.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Es sei ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf ${}M$. Zeige folgende Aussagen.

1. Wenn ${}G$ auf ${}M$ operiert, so ist die Abbildung

   $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto (x\mapsto gx),$

   ein Gruppenhomomorphismus.

2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi (x),$

   vorliegt, so wird durch

   $G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto (\varphi (g))(x),$

   eine Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}M$ definiert.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Betrachte die Gruppenoperation der ${}n$-ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf ${}{\mathbb {C} }$. Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen dieser Operation. Kann man die Quotientenabbildung durch eine polynomiale Funktion realisieren?