Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 21

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Aufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Integritätsbereich und einer Gruppenoperation einer endlichen Gruppe auf derart, dass nicht jeder Zwischenring , , der Invariantenring zu einer Untergruppe von ist.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper , eine Galoiserweiterung vom Grad und sei der ganze Abschluss von in . Interpretiere den Satz über die Galoiskorrespondenz für die normalen Zwischenringe zwischen und . Welche Gruppen wirken auf diesen Ringen und wie sehen die Invariantenringe aus?


Aufgabe *

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit einer Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in und es sei ein Element derart, dass , , eine -Basis von ist. Es sei eine Untergruppe mit den Nebenklassen

Zeige, dass die Familie

zu eine -Basis des Invariantenringes ist.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.

  1. Für die Einheiten gilt
  2. Wenn ein Körper ist, so ist auch ein Körper.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring mit und . Zeige, dass die Gruppe auf der quadratischen Erweiterung

als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiert, indem durch wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.


Aufgabe

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass zu jedem sowohl als auch zum Fixring gehören.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu jedem und jedem ist der Ausdruck

    invariant.

  2. Wenn einen Körper der Charakteristik enthält, so erzeugen die ,  , , den Invariantenring.
  3. Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich, eine endliche Körpererweiterung und der ganze Abschluss von in . Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Divisorengruppe operiert.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich, eine endliche Körpererweiterung und der ganze Abschluss von in . Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Divisorenklassengruppe operiert.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass auf eine Gruppenoperation von gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement und vertauscht. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.


Aufgabe

Es sei . Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper die Gruppe der -Körperautomorphismen, die durch erzeugt wird, wobei eine primitive -te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme den Fixkörper .


Aufgabe

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Wir betrachten die durch erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf . Zeige, dass der Invariantenring gleich

ist.


Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf dem Körper die Operation von , wobei durch auf wirkt und diese Wirkung auf den Quotientenkörper fortgesetzt wird. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring ebenfalls lokal ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also für und jedes ). Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es gibt eine natürliche Operation von auf dem Restklassenring .
  2. Es gibt einen Ringhomomorphismus
  3. Die Abbildung aus Teil (2) ist injektiv.
  4. Wenn endlich ist und einen Körper der Charakteristik enthält, so ist surjektiv.


Aufgabe

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring . Es sei ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Operation von auf gibt, und dass der zugehörige Invariantenring gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring . Es sei ein Primideal. Zeige, dass es eine natürliche Operation von auf dem Faserring gibt. Zeige, dass der zugehörige Invariantenring den Restekörper enthält. Zeige durch ein Beispiel, dass dabei der Restekörper echt kleiner sein kann.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring . Zeige, dass in natürlicher Weise auch auf dem Polynomring operiert, und dass der zugehörige Invariantenring gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei . Zeige, dass das Polynom

unter der natürlichen Operation von auf dem Polynomring invariant ist.


Betrachte unter diesem Aspekt nochmal Aufgabe 21.7 und Aufgabe 21.8.

Aufgabe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in . Es sei eine Untergruppe mit dem Fixkörper , . Zeige, dass der Ganzheitsring von in gleich dem Invariantenring ist.


Aufgabe

Es sei eine Erweiterung von kommutativen Ringen. Zeige, dass die Automorphismengruppe in natürlicher Weise auf dem Modul der Kähler-Differentiale -linear operiert.


Aufgabe *

Es sei der fünfte Kreisteilungskörper und der fünfte Kreisteilungsring. Bestimme die -Matrizen, die die Operation der Galoisgruppe auf dem Modul der Kähler-Differentiale bezüglich der Basis aus Beispiel 19.8 beschreiben.


Aufgabe

Es sei der fünfte Kreisteilungskörper und der fünfte Kreisteilungsring. Bestimme die -Matrizen, die die Operation der Galoisgruppe auf dem Modul der Kähler-Differentiale bezüglich der Basis aus Beispiel 19.8 beschreiben.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe und eine Menge. Es sei die Gruppe der Permutationen auf . Zeige folgende Aussagen.

  1. Wenn auf operiert, so ist die Abbildung

    ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

    vorliegt, so wird durch

    eine Gruppenoperation von auf definiert.


Aufgabe

Es sei . Betrachte die Gruppenoperation der -ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf . Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen dieser Operation. Kann man die Quotientenabbildung durch eine polynomiale Funktion realisieren?



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