Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$, sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$ mit der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
\mathl{\{ {\mathfrak q}_1 , \ldots , {\mathfrak q}_k \}}{.} Zeige, dass es einen natürlichen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( {\mathfrak q}_1 , \ldots , {\mathfrak q}_k)
} {}
gibt, und dass dessen
\definitionsverweis {Kern}{}{}
gleich
\mathl{\bigcap_{j = 1}^k G_{ {\mathfrak q}_j }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit einer kommutativen
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Zerlegungsgruppen}{}{}
\mathl{G_{ {\mathfrak q} }}{} für alle Primideale ${\mathfrak q}$ aus $S$ oberhalb von ${\mathfrak p}$ übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$, sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$ mit der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
\mathl{\{ {\mathfrak q}_1 , \ldots , {\mathfrak q}_k \}}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$\sum_{j = 1}^k {\mathfrak q}_j$ unter der natürlichen
\definitionsverweis {Operation}{}{}
der Galoisgruppe auf der
\definitionsverweis {Divisorengruppe}{}{}
\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} und damit auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Stabilisator}{}{}
\mathl{G_{\mathfrak p}}{} auf dem
\definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} $R_{\mathfrak p}$ und auf dem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak p} )}{} in natürlicher Weise operiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $T$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $M$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
von $G$ mit
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{G/N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{T^N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{M^N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem $H$ galoissch operiert mit Fixring $R$ bzw. Fixkörper $K$. Es sei ${\mathfrak r}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $T$ über ${\mathfrak q}$ in $S$. Zeige, dass zwischen den
\definitionsverweis {Zerlegungsgruppen}{}{}
ein natürlicher
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { G_{ {\mathfrak r} } } {H_{ {\mathfrak q} }
} {}
besteht, dessen
\definitionsverweis {Kern}{}{}
gleich
\mathl{N \cap G_{ {\mathfrak r} }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{.}
Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$, ${\mathfrak q}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $S$ und $Z_{\mathfrak q}$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zerlegungskörper}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{Z_{\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {galoissch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{.}
Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$, ${\mathfrak q}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $S$ und $Z_{\mathfrak q}$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zerlegungskörper}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{Z_{\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {galoissch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$ und seien
\mathkor {} {{\mathfrak q}} {und} {{\mathfrak q}'} {}
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
von $S$ über ${\mathfrak p}$. Zeige, dass es ein natürliches kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} G_{ {\mathfrak q} } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Gal}\, ( \kappa ( {\mathfrak q} ) {{|}} \kappa ( {\mathfrak p} ) ) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ G_{ {\mathfrak q}' } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Gal}\, ( \kappa ( {\mathfrak q}' ) {{|}} \kappa ( {\mathfrak p} ) ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von Gruppenhomomorphismen gibt, wobei die vertikalen Abbildungen
\definitionsverweis {Isomorphismen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den Zahlbereich
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} den
\definitionsverweis {Zerlegungskörper}{}{}
und den
\definitionsverweis {Trägheitskörper}{}{}
für die Primideale oberhalb von
\mathl{(2),(3),(5)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {kubische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {galoissch}{}{}
ist, \anfuehrung{obwohl}{} die Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(p)
}
{ \subseteq }{ \kappa ({\mathfrak q})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
${\mathfrak q}$ des zugehörigen Zahlbereiches $S$
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{{\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
galoissch ist. Man folgere, dass in diesem Fall die Gruppenhomomorphismen aus
Lemma 22.5
nicht surjektiv sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass nicht jeder
\definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{}
der Erweiterung als
\definitionsverweis {Zerlegungskörper}{}{}
eines
\definitionsverweis {Primideals}{}{}
des zugehörigen
\definitionsverweis {Zahlbereichs}{}{}
auftritt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z/(2) \times \Z/(2) \times \Z/(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Zerlegungsgruppe}{}{}
und die
\definitionsverweis {Trägheitsgruppe}{}{}
für die Primideale im zugehörigen
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
oberhalb von $(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die in $\Q$ keine dritte Wurzel besitzt, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{\Q[X]/(X^3-q)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom Grad $3$ ist. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3-q}{} in
\mathl{L}{} genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht
\definitionsverweis {galoissch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \zeta , \sqrt[3]{2}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ { \frac{ -1 + { \mathrm i} \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe Beispiele für
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass darüber im zugehörigen
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zwei bzw. drei bzw. sechs
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
liegen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \zeta , \sqrt[3]{2}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ { \frac{ -1 + { \mathrm i} \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Zerlegungsgruppen}{}{}
der
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
im zugehörigen
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
verschieden sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die reelle Quadratabbildung
\maabbeledisp {} {\R[Y]} { \R[X]
} {Y} {X^2
} {,}
den
\definitionsverweis {Zerlegungskörper}{}{}
und den
\definitionsverweis {Trägheitskörper}{}{}
für die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
${\mathfrak q}$ in
\mathl{\R[X]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{{\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom mit der Eigenschaft, dass
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} [Y] } { {\mathbb C} [X]
} {Y} { P
} {,}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\zusatzklammer {im
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}} {} {}
ist. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Zerlegungsgruppe}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} bis auf endlich viele Ausnahmen trivial ist, und dass sie stets mit der
\definitionsverweis {Trägheitsgruppe}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei $T$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $M$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
von $G$ mit
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{G/N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{T^N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{M^N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem $H$ galoissch operiert mit Fixring $R$. Es sei ${\mathfrak r}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $T$ über ${\mathfrak q}$ in $S$ und ${\mathfrak p}$ in $R$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} G_{ {\mathfrak r} } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Gal}\, ( \kappa ( {\mathfrak r} ) {{|}} \kappa ( {\mathfrak p} ) ) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ H_{ {\mathfrak q} } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Gal}\, ( \kappa ( {\mathfrak q} ) {{|}} \kappa ( {\mathfrak p} ) ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
vorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen von
Lemma 22.5
herrühren
\zusatzklammer {alle Erweiterungen der Restekörper seien
\definitionsverweis {separabel}{}{}} {} {,}
die linke Abbildung von
Aufgabe 22.5
herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \kappa ( {\mathfrak p} )
}
{ \subseteq} { \kappa ( {\mathfrak q} )
}
{ \subseteq} { \kappa ( {\mathfrak r} )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für einen
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für welche
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
$p$ das
\definitionsverweis {Artinsymbol}{}{}
\mathl{{ \left( p, Q(R) / \Q \right) }}{} die Identität oder die Konjugation ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestätige für die Primzahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {2,5,7,11,13,17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R/(p)
}
{ = }{ \Z/(p) [X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^p
}
{ =} { \begin{cases} X \\ X^2-2 \\ -X^2-X+2 \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wie sieht es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $K$ eine Restekörper von $\Z/(p)[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }$. Zeige, dass in $K$ eine der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^p
}
{ =} { \begin{cases} X \\ X^2-2 \\ -X^2-X+2 \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wie sieht es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus?
}
{} {}
Die Situation der beiden vorstehenden Aufgaben wird in Aufgabe 23.16 wieder aufgegriffen.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die Potenzen $X^p$ in $\Z/(p)[X]/ { \left( X^3-2 \right) }$ für die
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {2,3, \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Gibt es da irgendeine Regelmäßigkeit?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\zeta$ eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper $L$. Zeige, dass die Elemente
\mathlistdisp {\zeta+\zeta^8} {} {\zeta^2+\zeta^7} {und} {\zeta^4+\zeta^5} {}
die Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^3-3X+1}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abelschen}{}{}
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ und es sei $S$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe mit der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{G/N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{S^N
}
{ \subseteq }{K
}
{ = }{L^N
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $p$ eine Primzahl und ${\mathfrak q}$ ein
\definitionsverweis {unverzweigtes}{}{}
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $S$ oberhalb von $(p)$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ {\mathfrak q} \cap R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige unter Verwendung des kommutativen Diagrammes
\mathdisp {\begin{matrix} G_{ {\mathfrak q} } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Gal}\, ( \kappa ( {\mathfrak q} ) {{|}} \Z/(p) ) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ H_{ {\mathfrak p} } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Gal}\, ( \kappa ( {\mathfrak p} ) {{|}} \Z/(p) ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
aus
Aufgabe 22.18,
dass das
\definitionsverweis {Artinsymbol}{}{}
${ \left( p, L / \Q \right) }$ auf das Artinsymbol ${ \left( p, K / \Q \right) }$ abgebildet wird.
}
{} {}