Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 22

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in , sei ein Primideal von mit der Faser . Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

gibt, und dass dessen Kern gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit einer kommutativen Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in und sei ein Primideal von . Zeige, dass die Zerlegungsgruppen für alle Primideale aus oberhalb von übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in , sei ein Primideal von mit der Faser . Zeige, dass der Divisor unter der natürlichen Operation der Galoisgruppe auf der Divisorengruppe invariant ist.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen und damit auf operiere. Es sei . Zeige, dass der Stabilisator auf dem lokalen Ring und auf dem Restekörper in natürlicher Weise operiert.


Aufgabe *

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in . Es sei ein Normalteiler von mit Restklassengruppe und es sei und der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem galoissch operiert mit Fixring bzw. Fixkörper . Es sei ein Primideal von über in . Zeige, dass zwischen den Zerlegungsgruppen ein natürlicher surjektiver Gruppenhomomorphismus

besteht, dessen Kern gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung. Es sei der ganze Abschluss von in , ein Primideal in und der zugehörige Zerlegungskörper. Zeige, dass galoissch ist.


Aufgabe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung. Es sei der ganze Abschluss von in , ein Primideal in und der zugehörige Zerlegungskörper. Zeige, dass galoissch ist.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in und seien und Primideale von über . Zeige, dass es ein natürliches kommutatives Diagramm

von Gruppenhomomorphismen gibt, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphismen sind.


Aufgabe

Bestimme für den Zahlbereich den Zerlegungskörper und den Trägheitskörper für die Primideale oberhalb von .


Aufgabe

Zeige, dass eine kubische Körpererweiterung im Allgemeinen nicht galoissch ist, „obwohl“ die Körpererweiterungen für jedes maximale Ideal des zugehörigen Zahlbereiches (mit ) galoissch ist. Man folgere, dass in diesem Fall die Gruppenhomomorphismen aus Lemma 22.5 nicht surjektiv sind.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Galoiserweiterung derart, dass nicht jeder Zwischenkörper der Erweiterung als Zerlegungskörper eines Primideals des zugehörigen Zahlbereichs auftritt.


Aufgabe

Wir betrachten die Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

Bestimme die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe für die Primideale im zugehörigen Zahlbereich oberhalb von .


Aufgabe

Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt, so dass eine Körpererweiterung vom Grad ist. Zeige, dass das Polynom in genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoissch ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Galoiserweiterung

wobei die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe Beispiele für Primzahlen derart, dass darüber im zugehörigen Zahlbereich zwei bzw. drei bzw. sechs Primideale liegen.


Aufgabe *

Wir betrachten die Galoiserweiterung

wobei die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe ein Beispiel für eine Primzahl derart, dass die Zerlegungsgruppen der Primideale im zugehörigen Zahlbereich verschieden sind.


Aufgabe

Bestimme für die reelle Quadratabbildung

den Zerlegungskörper und den Trägheitskörper für die Primideale in .


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit der Eigenschaft, dass

eine Galoiserweiterung (im Funktionenkörper) ist. Zeige, dass die Zerlegungsgruppe zu einem Primideal bis auf endlich viele Ausnahmen trivial ist, und dass sie stets mit der Trägheitsgruppe übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in . Es sei ein Normalteiler von mit Restklassengruppe und es sei und der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem galoissch operiert mit Fixring . Es sei ein Primideal von über in und in . Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

von Gruppenhomomorphismen vorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen von Lemma 22.5 herrühren (alle Erweiterungen der Restekörper seien separabel), die linke Abbildung von Aufgabe 22.5 herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette

gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme für einen quadratischen Zahlbereich , für welche Primzahlen das Artinsymbol die Identität oder die Konjugation ist.


Aufgabe *

Es sei . Bestätige für die Primzahlen

dass in eine der Beziehung

gilt. Wie sieht es bei aus?


Aufgabe *

Es sei . Es sei eine Primzahl und eine Restekörper von . Zeige, dass in eine der Beziehung

gilt. Wie sieht es bei aus?


Die Situation der beiden vorstehenden Aufgaben wird in Aufgabe 23.16 wieder aufgegriffen.

Aufgabe

Berechne die Potenzen in für die Primzahlen

Gibt es da irgendeine Regelmäßigkeit?


Aufgabe *

Es sei eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper . Zeige, dass die Elemente

die Nullstellen des Polynoms sind.


Aufgabe

Es sei eine Galoiserweiterung mit einer abelschen Galoisgruppe und es sei der zugehörige Zahlbereich. Es sei eine Untergruppe mit der Restklassengruppe und . Es sei eine Primzahl und ein unverzweigtes Primideal von oberhalb von und . Zeige unter Verwendung des kommutativen Diagrammes

aus Aufgabe 22.18, dass das Artinsymbol auf das Artinsymbol abgebildet wird.



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