Kurs:Analysis/Teil I/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	3	3	4	2	7	5	5	4	6	4	3	5	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Eine Teilfolge einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Die komplexe Konjugation.
Ein Berührpunkt einer Menge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ .
Eine Treppenfunktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .
Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$ .
Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit ${}{\frac {\pi }{2}}$ .

Aufgabe * (1 Punkt)

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.

Aufgabe (1 Punkt)

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.

{}\vert {2x-5}\vert <\vert {3x-4}\vert \,.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl mit ${}b<0$ . Zeige, dass

{}v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,

eine Quadratwurzel von ${}z$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion und

g\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Q}

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge ${}f(g(n)),\,n\in \mathbb {N}$ , konvergiert. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

{}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}n$ -te komplexe Einheitswurzel. Es sei

f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(\zeta z)=\zeta ^{n-1}f'(z)$ erfüllt.