Kurs:Analysis/Teil I/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 2 2 5 4 2 8 1 5 7 3 5 6 3 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen und .
  4. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  5. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  6. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von komplexen Zahlen.
  2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt

    .
  3. Der große Umordnungssatz.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für .


Aufgabe * (2 Punkte)

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis . Entscheide, ob die Folge

in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe * (5 Punkte)

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form mit . Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion


Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

  1. Bestimme die Ableitung und die Tangente von in einem Punkt .
  2. Bestimme den Schnittpunkt einer jeden Tangenten mit der -Achse in Abhängigkeit von . Skizziere die Situation.
  3. Die Parabel, die Tangente und die -Achse begrenzen eine Fläche. Berechne deren Flächeninhalt in Abhängigkeit von .


Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt.
  2. Es sei vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion mit und mit

    für alle gibt.

  3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion mit für alle , die keine Exponentialfunktion ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung