Kurs:Analysis/Teil I/25/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	2	5	4	2	8	1	5	7	3	5	6	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bild einer Abbildung

   $F\colon L\longrightarrow M.$

2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
3. Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
4. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
5. Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$-mal differenzierbaren Funktion

   $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   im Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

6. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Majorantenkriterium für eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen.
2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.
3. Der große Umordnungssatz.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für ${}n\geq 1$.

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$. Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe * (5 Punkte)

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form ${}n^{k}$ mit ${}n,k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

${}f(x)=x^{4}+3x^{3}+x^{2}+x+1\,.$

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Bestimme die Ableitung und die Tangente ${}t_{a}$ von ${}f$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.
2. Bestimme den Schnittpunkt einer jeden Tangenten ${}t_{a}$ mit der ${}x$-Achse in Abhängigkeit von ${}a$. Skizziere die Situation.
3. Die Parabel, die Tangente ${}t_{a}$ und die ${}x$-Achse begrenzen eine Fläche. Berechne deren Flächeninhalt in Abhängigkeit von ${}a$.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
2. Es sei ${}w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit ${}b>1$ und mit

   ${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die keine Exponentialfunktion ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x\cdot \sin x.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t}}\,.$