Kurs:Analysis/Teil I/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 3 2 8 6 4 3 3 4 4 3 2 4 5 3 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  4. Die Kosinusreihe zu .
  5. Eine Stammfunktion einer Abbildung auf einer offenen Menge .
  6. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).


Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille. Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

konvergiert oder divergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

streng wachsende Funktionen, die auf übereinstimmen. Folgt daraus ?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

für .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

mit

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem