Kurs:Analysis/Teil I/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	8	6	4	3	3	4	4	3	2	4	5	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
3. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
4. Die Kosinusreihe zu ${}z\in {\mathbb {C} }$.
5. Eine Stammfunktion einer Abbildung ${}f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.
6. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Der Zwischenwertsatz.
3. Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe ${}4\times 6$ Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille. Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei eine reelle Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,$

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ${}x_{0}>a$ ist ${}x_{n}>a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ${}x_{0}=a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei ${}x_{0}<a$ ist ${}x_{n}<a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}$

konvergiert oder divergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

streng wachsende Funktionen, die auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmen. Folgt daraus ${}f=g$?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}b>a$ reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon C^{0}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(]a,b[,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f{|}_{]a,b[}.$

Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}r>0$. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

mit

${}b_{n}:={\begin{cases}a_{n},\,{\text{ falls }}n\in I,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ${}\geq r$ ist.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).$

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=e^{x^{2}}-x\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=1$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=2t{\text{ mit }}y(5)=3.$