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Kurs:Analysis/Teil I/30/Klausur mit Lösungen/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 5 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 2 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleeinundzwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {surjektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}

}{Eine \stichwort {nach unten beschränkte} {} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Der \stichwort {Körper der reellen Zahlen} {.}

}{Die \stichwort {Sinusreihe} {.}

}{Eine \stichwort {konvexe Funktion} {} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes
\mathl{y \in M}{} mindestens ein Element
\mathl{x \in L}{} mit
\mathl{f(x)= y}{} gibt. }{Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt nach unten beschränkt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. }{Einen \definitionsverweis {archimedisch angeordneten}{}{} \definitionsverweis {vollständigen}{}{} \definitionsverweis {Körper}{}{} nennt man Körper der reellen Zahlen. }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
die Sinusreihe zu $z$. }{Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der \definitionsverweis {Epigraph}{}{}
\mathl{E(f)}{} \definitionsverweis {konvex}{}{} ist. }{Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn \definitionsverweis {Ober}{}{-} und \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} von $f$ existieren und übereinstimmen. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.}{Das \stichwort {Folgenkriterium} {} für die Stetigkeit einer Funktion \maabbdisp {f} { {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Zu je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ < }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus $K$ gibt es eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ <} { { \frac{ n }{ k } } }
{ <} { y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen
\mathl{f(a)}{} konvergiert.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen und sei \maabbdisp {f} {D} {\R } {} eine Funktion, die in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

}
{

Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \text{Pythagoras} }
{ =} { c^2 }
{ =} { a^2+b^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{Gleichungskette/Pythagoras/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Der Energiebedarf \zusatzklammer {durch Nahrung} {} {} eines Menschen beträgt pro Tag etwa
\mathl{12.000 \, kJ}{} \zusatzklammer {Kilojoule} {} {.} Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa $3 kWh$ pro $m^2$ \zusatzklammer {$3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter} {} {.} Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?

}
{

Eine Kilowattstunde sind
\mathl{3600 kJ}{,} die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3 \cdot 3600 }
{ = }{ 10 800 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 12000 }{ 10800 } } }
{ =} { { \frac{ 10 }{ 9 } } }
{ =} { 1,11... }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Quadratmeter pro Person.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.

}
{

Eine ungerade Zahl $n$ besitzt die Form
\mathl{n=2k+1}{} mit einer ganzen Zahl
\mathl{k}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 25n^2-17 }
{ =} { 25 (2k+1)^2 -17 }
{ =} { 25 (4k^2+4k+1 ) -17 }
{ =} {25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +25 -17 }
{ =} { 25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +8 }
} {} {}{.} Die $8$ hinten ist ein Vielfaches von $8$. Genau eine der beiden Zahlen \mathkor {} {k} {und} {k+1} {} ist gerade, also von der Form $2 m$. Daher ist
\mathl{4 \cdot k(k+1)}{} ein Vielfaches von $8$ und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von $8$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

}
{

Wegen der ersten Voraussetzung gilt
\mathl{A(0)}{.} Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch
\mathl{A(1)}{.} Deshalb gilt auch
\mathl{A(2)}{.} Deshalb gilt auch
\mathl{A(3)}{.} Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage
\mathl{A(n)}{} für jede natürliche Zahl $n$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ = }{ y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da
\mathl{\left \lfloor x \right \rfloor, \left \lfloor y \right \rfloor}{} ganze Zahlen sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{\left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganzzahlig. Damit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y }
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (y - \left \lfloor y \right \rfloor ) }
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (x - \left \lfloor x \right \rfloor ) }
{ =} { x + \left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor }
{ =} { x + n }
} {} {}{.}

Es sei nun
\mathl{y=x+n}{} mit
\mathl{n \in \Z}{.} Aus der definierenden Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor }
{ \leq} {x }
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor +n }
{ \leq} {x +n }
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + n+1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x+n \right \rfloor }
{ =} {\left \lfloor x \right \rfloor + n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ =} {x +n - \left \lfloor x+n \right \rfloor }
{ =} { x+n - ( \left \lfloor x \right \rfloor + n) }
{ =} { x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ } { }
} {} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathbed {b \in K} {}
{b> 1} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass es dann Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{cd }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{

Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} { { \frac{ b+1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+1 }
{ >} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ >} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen sodann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d }
{ =} { b \cdot c^{-1} }
{ =} { { \frac{ 2 b }{ b+1 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} sodass die geforderte Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b }
{ =} { c \cdot d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2b }
{ =} {b+b }
{ >} {b+1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d }
{ >} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0 }
{ \leq} { x_n }
{ \leq} { b_0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine \definitionsverweis {Intervallhalbierung}{}{} derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_0 }
{ \defeq }{ [a_0,b_0] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei das $k$-te Intervall
\mathl{I_{ k }}{} bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
\mathdisp {[a_{ k }, \frac{ a_{ k }+b_{ k } }{2}] \text{ und } [ \frac{a_{ k }+b_{ k } }{2},b_{ k }]} { . }
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall
\mathl{I_{ k +1}}{} eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n_k} }
{ \in} { I_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_{ k } }
{ > }{ n_{ k-1 } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl $x$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n }
{ =} {[a_n,b_n] }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} vorliegt.

}
{

Für $n$ gerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a_n,b_n] }
{ =} { [0, { \frac{ 1 }{ n } } ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und für $n$ ungerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [a_n,b_n] }
{ =} { [- { \frac{ 1 }{ n } }, 0 ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Intervalllänge ist stets ${ \frac{ 1 }{ n } }$, also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{n \in \N_+} [a_n,b_n] }
{ =} { \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { { \mathrm i} z } {.}

}
{

Die Umkehrfunktion ist \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { - { \mathrm i} z } {,} da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i} { \left( - { \mathrm i} \right) } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $f$ von minimalem Grad mit
\mathdisp {f(0)=0,\, f(1) =1,\, f(2) = 3,\, f(3) = 6} { . }

}
{

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad $\leq 3$ geben, wir können also den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {ax^3+bx^2+cx+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+b+c }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8a+4b+2c }
{ =} { 3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 27a+9b+3c }
{ =} { 6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}
\mathl{II-2I}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6a+2b }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mathl{III-3I}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 24a +6b }
{ =} { 3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8a +2b }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und damit auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } x^2+ { \frac{ 1 }{ 2 } }x} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1- \sqrt[k]{2} \right) } \cdot { \left( 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} \right) } }
{ =} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( 1- \sqrt[k]{2} \right) } \cdot { \left( 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} \right) } }
{ =} { 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} - \sqrt[k]{2} { \left( 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} \right) } }
{ =} { 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} - \sqrt[k]{2} - \sqrt[k]{2}^2 - \sqrt[k]{2}^3 - \cdots - \sqrt[k]{2}^{k-1} -\sqrt[k]{2}^{k} }
{ =} { 1 -\sqrt[k]{2}^{k} }
{ =} {1-2 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-1 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[-2,-1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/8$.

}
{

ungefähr
\mathl{-1,879}{}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine Funktion auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar \mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.

}
{

Die Hinrichtung ist klar, da Punkte des Graphen insbesondere zum Epigraphen gehören. Es sei nun die Bedingung für Punkte des Graphen erfüllt und seien
\mathbed {(a,y)} {und}
{(b,z)} {}
{} {} {} {} Punkte des Epigraphen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \leq }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b) }
{ \leq }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Verbindungsgerade zwischen
\mathbed {(a,y)} {und}
{(b,z)} {}
{} {} {} {} wird durch
\mathbed {(a+x, y + { \frac{ z-y }{ b-a } } x)} {}
{x \in [0, b-a]} {}
{} {} {} {,} und die Verbindungsgerade zwischen
\mathbed {(a,f(a))} {und}
{(b,f(b))} {}
{} {} {} {} wird durch
\mathbed {(a+x, f(a) + { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } } x)} {}
{x \in [0, b-a]} {}
{} {} {} {,} beschrieben, wobei nach Voraussetzung die zweite Strecke sich ganz im Epigraphen bewegt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ [0, b-a] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y + { \frac{ z-y }{ b-a } } x }
{ =} { { \frac{ b-a-x }{ b-a } } y + { \frac{ x }{ b-a } } z }
{ \geq} {{ \frac{ b-a-x }{ b-a } } f(a) + { \frac{ x }{ b-a } } f(b) }
{ =} {f(a) + { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } } x }
{ } { }
} {} {}{,} daher bewegt sich auch die erste Strecke im Epigraphen.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{

Nach Definition . ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^x }
{ =} { \exp \left( x \, \ln a \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} nach $x$ ist aufgrund von [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] unter Verwendung der Kettenregel gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^x \right) }' }
{ =} { { \left( \exp \left( x \, \ln a \right) \right) }' }
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp' (x \, \ln a ) }
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp \left( x \, \ln a \right) }
{ =} { { \left( \ln a \right) } a^x }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $2$ zur \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ x^2+6x+1 }{ 4x +4 } } } {,} im Entwicklungspunkt $1$.

}
{

Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ =} { { \frac{ (2x+6)( 4x+4) - 4 (x^2 +6x+1 ) }{ (4x+4 )^2 } } }
{ =} { { \frac{ 4x^2 +8x + 20 }{ 16(x^2+2x+1) } } }
{ =} { { \frac{ x^2 +2x + 5 }{ 4 (x^2+2x+1) } } }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime} (x) }
{ =} { { \frac{ 4 (2x +2)(x^2+2x+1) - 4 (x^2 +2x + 5 ) (2 x +2) }{ 16 (x^2+2x+1)^2 } } }
{ =} { { \frac{ (2x +2) { \left( (x^2+2x+1) - (x^2 +2x + 5 ) \right) } }{ 4 (x^2+2x+1)^2 } } }
{ =} { - { \frac{ 2x +2 }{ (x^2+2x+1)^2 } } }
{ } { }
} {} {}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1) }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(1) }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (1) }
{ =} { { \frac{ - 4 }{ 16 } } }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } (x-1) - { \frac{ 1 }{ 8 } } (x-1)^2} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

}
{

Aufgrund von Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert das Integral. Mit der \definitionsverweis {Integralfunktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(x) }
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t }
{ =} { G(b) }
{ =} { G(b) - G(a) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aufgrund von Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist $G$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G'(x) }
{ =} { f(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. $G$ ist eine Stammfunktion von $f$. Wegen Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x) }
{ = }{ G(x)+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t }
{ =} { G(b) - G(a) }
{ =} { F(b) - c - F(a) + c }
{ =} { F(b) -F(a) }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Zeige durch Induktion nach $n$ unter Verwendung der partiellen Integration
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 x^m (1-x)^n dx }
{ =} { { \frac{ m! n! }{ (m+n+1)! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und beliebiges $m$ ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_0^1 x^m (1-x)^n dx }
{ =} { \int_0^1 x^m dx }
{ =} { { \frac{ 1 }{ m+1 } } x^{m+1} | _{ 0 } ^{ 1 } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ m+1 } } }
{ =} { { \frac{ m! 0! }{ (m+0+1)! } } }
} {} {}{,} dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Aussage für ein festes $n$ und beliebiges $m$ schon bewiesen und es ist
\mathl{\int_0^1 x^m (1-x)^{n+1} dx}{} zu bestimmen. Wir wenden darauf partielle Integration an, wobei wir für $x^m$ die Stammfunktion ${ \frac{ 1 }{ m+1 } } x^{m+1}$ und für
\mathl{(1-x)^{n+1}}{} die Ableitung
\mathl{-(n+1)(1-x)^n}{} heranziehen. Es ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_0^1 x^m (1-x)^{n+1} dx }
{ =} { { \frac{ 1 }{ m+1 } } x^{m+1}(1-x)^{n+1} | _{ 0 } ^{ 1 } + { \frac{ n+1 }{ m+1 } } \int_0^1 x^{m+1} (1-x)^{n} dx }
{ =} { { \frac{ n+1 }{ m+1 } } \int_0^1 x^{m+1} (1-x)^{n} dx }
{ =} { { \frac{ n+1 }{ m+1 } } { \frac{ (m +1)! n! }{ (m+1+n+1)! } } }
{ =} { { \frac{ m! (n+1)! }{ (m+(n+1)+2)! } } }
} {} {}{,} was die Behauptung ergibt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde eine \definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{,} für die $f$ eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} ist.

}
{

Die Funktion $f$ ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { { \frac{ f' }{ f } } y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t) }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist diese wohldefiniert. Einsetzen von $f$ zeigt unmittelbar, dass eine Lösung vorliegt.


}