Kurs:Analysis/Teil I/30/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 1 | 2 | 4 | 2 | 4 | 4 | 6 | 2 | 1 | 4 | 3 | 4 | 4 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine surjektive Abbildung
- Eine nach unten beschränkte Teilmenge eines angeordneten Körper .
- Der Körper der reellen Zahlen.
- Die Sinusreihe.
- Eine konvexe Funktion
auf einem Intervall .
- Die
Riemann-Integrierbarkeit
einer Funktion
auf einem kompakten Intervall .
- Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
- Die Teilmenge heißt nach unten beschränkt, wenn es ein mit für alle gibt.
- Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
- Für
heißt
die Sinusreihe zu .
- Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper .
- Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
in einem Punkt
. - Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
- Zu je zwei Elementen
aus gibt es eine rationale Zahl mit
- Die Stetigkeit von im Punkt ist äquivalent dazu, dass für jede Folge , die gegen konvergiert, die Bildfolge gegen konvergiert.
- Es sei
offen und sei
eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
Aufgabe (1 Punkt)
Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.
Aufgabe (1 Punkt)
Wie sinnvoll ist die Gleichungskette
Lösung Gleichungskette/Pythagoras/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 Punkte)
Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa pro ( Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?
Eine Kilowattstunde sind , die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also
Quadratmeter pro Person.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.
Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist
Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .
Aufgabe (2 Punkte)
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
Wegen der ersten Voraussetzung gilt . Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch . Deshalb gilt auch . Deshalb gilt auch . Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage für jede natürliche Zahl .
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass
genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.
Es sei . Da ganze Zahlen sind, ist ganzzahlig. Damit gilt
Es sei nun mit . Aus der definierenden Beziehung
folgt
daher muss
sein. Somit ist
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.
Wir setzen
Da ist, ist auch
und damit ist
Wir setzen sodann
sodass die geforderte Gleichheit
gilt. Wegen ist
also ist auch
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.
Die Folge sei durch
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Es sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .
Aufgabe (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()
derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.
Für gerade sei
und für ungerade sei
Die Intervalllänge ist stets , also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion
Die Umkehrfunktion ist
da
ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Man finde ein Polynom von minimalem Grad mit
Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad geben, wir können also den Ansatz
machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem
ergibt
und ergibt
bzw.
Daraus folgt und und damit auch . Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei . Zeige
Es ist
Aufgabe (4 Punkte)
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
ungefähr
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.
Die Hinrichtung ist klar, da Punkte des Graphen insbesondere zum Epigraphen gehören. Es sei nun die Bedingung für Punkte des Graphen erfüllt und seien und Punkte des Epigraphen, also und und . Die Verbindungsgerade zwischen und wird durch , , und die Verbindungsgerade zwischen und wird durch , , beschrieben, wobei nach Voraussetzung die zweite Strecke sich ganz im Epigraphen bewegt. Für ist
daher bewegt sich auch die erste Strecke im Epigraphen.
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .
Nach Definition . ist
Die Ableitung nach ist aufgrund von [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] unter Verwendung der Kettenregel gleich
Aufgabe (3 Punkte)
Nach der Quotientenregel ist
und
Es ist
und
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise die Newton-Leibniz-Formel.
Aufgrund von Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert das Integral. Mit der Integralfunktion
gilt die Beziehung
Aufgrund von Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist differenzierbar mit
d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist . Daher ist
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige durch Induktion nach unter Verwendung der partiellen Integration
Für und beliebiges ist
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Aussage für ein festes und beliebiges schon bewiesen und es ist zu bestimmen. Wir wenden darauf partielle Integration an, wobei wir für die Stammfunktion und für die Ableitung heranziehen. Es ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
was die Behauptung ergibt.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei
eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.
Die Funktion ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung
Wegen ist diese wohldefiniert. Einsetzen von zeigt unmittelbar, dass eine Lösung vorliegt.