Kurs:Analysis/Teil I/30/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 1 1 2 4 2 4 4 6 2 1 4 3 4 4 2 3 4 5 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Eine nach unten beschränkte Teilmenge eines angeordneten Körper .
  3. Der Körper der reellen Zahlen.
  4. Die Sinusreihe.
  5. Eine konvexe Funktion

    auf einem Intervall .

  6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  2. Die Teilmenge heißt nach unten beschränkt, wenn es ein mit für alle gibt.
  3. Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
  4. Für heißt

    die Sinusreihe zu .

  5. Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.
  6. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper .
  2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt

    .
  3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.


Lösung

  1. Zu je zwei Elementen aus gibt es eine rationale Zahl mit
  2. Die Stetigkeit von im Punkt ist äquivalent dazu, dass für jede Folge , die gegen konvergiert, die Bildfolge gegen konvergiert.
  3. Es sei offen und sei

    eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette


Lösung Gleichungskette/Pythagoras/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa pro ( Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?


Lösung

Eine Kilowattstunde sind , die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also

Quadratmeter pro Person.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist

Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Wegen der ersten Voraussetzung gilt . Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch . Deshalb gilt auch . Deshalb gilt auch . Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage für jede natürliche Zahl .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Lösung

Es sei . Da ganze Zahlen sind, ist ganzzahlig. Damit gilt

Es sei nun mit . Aus der definierenden Beziehung

folgt

daher muss

sein. Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.


Lösung

Wir setzen

Da ist, ist auch

und damit ist

Wir setzen sodann

so dass die geforderte Gleichheit

gilt. Wegen ist

also ist auch


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Lösung

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Es sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Lösung

Für gerade sei

und für ungerade sei

Die Intervalllänge ist stets , also bilden diese eine Nullfolge. Es ist

Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion


Lösung

Die Umkehrfunktion ist

da

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom von minimalem Grad mit


Lösung

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad geben, wir können also den Ansatz

machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem

ergibt

und ergibt

bzw.

Daraus folgt und und damit auch . Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Zeige


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Lösung

ungefähr


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.


Lösung

Die Hinrichtung ist klar, da Punkte des Graphen insbesondere zum Epigraphen gehören. Es sei nun die Bedingung für Punkte des Graphen erfüllt und seien  und Punkte des Epigraphen, also und und . Die Verbindungsgerade zwischen  und wird durch , , und die Verbindungsgerade zwischen  und wird durch , , beschrieben, wobei nach Voraussetzung die zweite Strecke sich ganz im Epigraphen bewegt. Für ist

daher bewegt sich auch die erste Strecke im Epigraphen.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .


Lösung

Nach Definition . ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] unter Verwendung der Kettenregel gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur rationalen Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Nach der Quotientenregel ist

und

Es ist

und

Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Lösung

Aufgrund von Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

gilt die Beziehung

Aufgrund von Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist differenzierbar mit

d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist . Daher ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige durch Induktion nach unter Verwendung der partiellen Integration


Lösung

Für und beliebiges ist

dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Aussage für ein festes und beliebiges schon bewiesen und es ist zu bestimmen. Wir wenden darauf partielle Integration an, wobei wir für die Stammfunktion und für die Ableitung heranziehen. Es ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

was die Behauptung ergibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.


Lösung

Die Funktion ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung

Wegen ist diese wohldefiniert. Einsetzen von zeigt unmittelbar, dass eine Lösung vorliegt.