Kurs:Analysis/Teil I/31/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	4	5	4	2	6	7	10	3	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein inverses Element zu einem Element ${}x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   mit einem neutralen Element ${}e\in M$.

2. Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Die komplexe Konjugation.
4. Ein Berührpunkt einer Menge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.
5. Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt ${}a\in U$.

6. Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ${}t$ zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
2. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.
3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

${}E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${}A$ oder ${}B$ oder ${}C$ oder ${}D$.
2. Wenn ${}C$ der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder oder ${}A$ ist der Mörder.
3. ${}A,B,C,D$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${}A$ nicht der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder.
6. ${}A$ ist genau dann der Mörder, wenn ${}B$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige durch Induktion über ${}n$, dass es zu natürlichen Zahlen ${}a,n$ mit ${}a>0$ natürliche Zahlen ${}q,r$ mit ${}r<a$ und mit

${}n=aq+r\,$

gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsmenge in ${}\mathbb {Q}$ für die Ungleichung

${}\vert {7x-5}\vert >\vert {6x-7}\vert \,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

${}x_{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdots {\frac {2n-1}{2n}}\,$

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.$

Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

1. Zeige die Gleichheit

   ${}\vert {\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert =\vert {\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert \,.$

2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.

Aufgabe * (10 (1+1+4+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

1. Berechne die erste Ableitung von ${}f$.
2. Berechne die zweite Ableitung von ${}f$.
3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ (${}n\geq 1$).
4. Bestimme das Taylorpolynom zu ${}f$ im Punkt ${}1$ vom Grad ${}4$.
5. Bestimme die Taylorreihe zu ${}f$ im Punkt ${}1$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

$\sin \left(\sin \left(\cos x\right)\right)\cdot \cos \left(\cos x\right)\cdot \sin x.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Finde die Lösung für das Anfangswertproblem

${}y'=y-y^{2}\,$

für ${}y\in ]0,1[$ mit der Anfangsbedingung ${}y(0)={\frac {1}{2}}$.