Kurs:Analysis/Teil I/39/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	5	3	4	5	7	3	3	5	4	5	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie ${}5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren ${}:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}8$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\,.$

Zeige, dass ${}f$ zwischen ${}1$ und ${}2$ eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{4}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y=3x-2\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die positiven reellen Zahlen ${}\mathbb {R} _{+}$ mit den Verknüpfungen

${}x\oplus y:=x\cdot y\,$

als neuer Addition und

${}x\otimes y:=e^{(\ln x)(\ln y)}\,$

als neuer Multiplikation. Ist ${}\mathbb {R} _{+}$ mit diesen Verknüpfungen (und mit welchen neutralen Elementen) ein Körper?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte ${}f'(a)=0$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)>0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
2. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)<0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ die Funktion, die eine reelle Zahl ${}x$ auf ihre zweite Nachkommastelle im Zehnersystem abbildet.

1. Berechne ${}\int _{0}^{1}f(x)dx$.
2. Erfüllt ${}f$ den Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen zur Differentialgleichung

${}y'={\frac {\sqrt {1-y^{2}}}{y}}\,$

für ${}y\in ]0,1[$.