Kurs:Analysis/Teil I/44/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	2	6	4	7	5	2	3	2	2	4	2	3	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: „Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email“.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B\cup C$.
2. ${}A\setminus B\subseteq C$.
3. ${}A\setminus C\subseteq B$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus ${}a\cdot b$ rechteckigen Teilstücken besteht (${}a$ beziehe sich auf die Länge). Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei ${}c$ und der Abstand der Querrillen sei ${}d$. Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die ${}256$, links und rechts davon stehen unendlich viele ${}1$ (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als ${}6$ sind.
2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

$[0,1]\longrightarrow [a,b]$

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert, aber ${}x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, aber ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
3. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert. Es gebe ein ${}a>0$ mit

   ${}y_{n}\geq a\,$

   für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$. Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$ hat.

3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X]$ mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$ ein Element mit ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ${}17$ ist?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {e^{x}-\cos x}{x^{2}+5x-6}}\,$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.$

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von ${}f$ gleich

${}f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=x^{2}+2x-3\,.$

Bestimme den Flächeninhalt des durch die ${}x$-Achse und den Graphen von ${}f$ eingeschränkten Gebietes.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.