Kurs:Analysis/Teil I/50/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	3	4	3	1	5	3	7	8	4	3	4	2	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
2. Die bestimmte Divergenz gegen ${}+\infty$ einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Realteil einer komplexen Zahl ${}z$.
4. Das Maximum der Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

5. Die komplexe Exponentialfunktion.
6. Eine Stammfunktion zu einer Funktion ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.
2. Der Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe

   ${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,.$

3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}x^{2}+px+q=0\,$

eine quadratische Gleichung über einem Körper ${}K$, und es sei ${}r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${}{\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,x,y$ positive reelle Zahlen und es gelte

${}a^{x}<b^{y}\,.$

Zeige, dass es positive rationale Zahlen ${}c,z$ mit

${}a^{x}<c^{z}<b^{y}\,$

gibt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Aufgabe * (7 (1+1+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktionenfolge ${}f_{n}$ auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ mit

${}f_{n}(x):={\frac {\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor }{10^{n}}}\,.$

1. Berechne die Funktionswerte ${}f_{n}(x)$ für

   ${}x=11,793105\,$

   und für ${}n=0,1,2$.

2. Skizziere die Funktionen ${}f_{1}$ und ${}f_{2}$ auf dem Intervall ${}[0,1]$.
3. Begründe, dass die ${}f_{n}$ nicht stetig sind.
4. Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
5. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

nur reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}}{1+\sin ^{2}x}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der ${}x$-Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls ${}[0,5]$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der harmonischen Reihe, dass es für das bestimmte Integral ${}\int _{1}^{m}{\frac {1}{x}}\,dx$ keine von ${}m$ unabhängige obere Schranke gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}y'=f(t)y+g(t)y^{\alpha }\,$

mit ${}\alpha \in \mathbb {R}$, ${}\alpha \neq 1$ (mit Funktionen ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$) durch den Ansatz

${}z=y^{1-\alpha }\,$

auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung für ${}z$ transformiert werden kann.