Zum Inhalt springen

Kurs:Analysis/Teil I/53/Klausur

Aus Wikiversity



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 2 2 3 6 2 5 5 3 3 2 3 3 3 7 3 4 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Eine untere Schranke einer Teilmenge in einem angeordneten Körper .
  3. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  4. Ein lokales Maximum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  5. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  6. Die Lösung eines Anfangswertproblems

    zu einer Funktion



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
  2. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
  3. Das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei . Zeige, wie man mit vier Multiplikationen berechnen kann.



Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.



Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.



Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.



Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle die Abschätzung

gilt.



Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

mit

nur im Nullpunkt stetig ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und



Aufgabe * (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).






Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei , und es sei

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein offenes Intervall, eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und ein Punkt mit

und

Zeige, dass ein Wendepunkt von ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .



Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

mittels Partialbruchzerlegung.



Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem