Kurs:Analysis/Teil I/53/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 6 | 2 | 5 | 5 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 7 | 3 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
- Eine untere Schranke einer Teilmenge in einem angeordneten Körper .
- Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
- Ein lokales Maximum einer Funktion
( eine Teilmenge) in einem Punkt .
- Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .
- Die Lösung eines Anfangswertproblems
zu einer Funktion
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
- Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
- Das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei . Zeige, wie man mit vier Multiplikationen berechnen kann.
Aufgabe * (2 Punkte)
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.
Aufgabe * (2 Punkte)
Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
Aufgabe * (5 Punkte)
Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
und
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei , und es sei
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein offenes Intervall, eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und ein Punkt mit
und
Zeige, dass ein Wendepunkt von ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion von
mittels Partialbruchzerlegung.
Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)
a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
c) Löse das Anfangswertproblem