Kurs:Analysis/Teil II/21/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	10	4	5	4	1	6	10	3	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}(M,d)$.
2. Eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
3. Ein Fixpunkt einer Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow M.$

4. Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem

   $v'=f(t,v){\text{ und }}(t_{0},w)\in I\times U$

   zu einem Vektorfeld

   $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

5. Die Faser zu einer Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   über einem Punkt ${}x\in M$.

6. Eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Vergleichskriterium für eine fallende Funktion

   $[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.$

2. Der Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.
3. Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der Fakultätsfunktion ${}\operatorname {Fak} \,(x)$ für ${}x>0$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge ${}T\subseteq M$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Von einer Bewegung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

sei der Geschwindigkeitsverlauf

${}\varphi '(t)=\left({\frac {t^{2}-1}{t}},\,t\sin \left(t^{2}\right),\,te^{t}\right)\,$

bekannt. Ferner sei

${}\varphi (1)=(1,2,3)\,$

bekannt. Bestimme ${}\varphi (t)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(2t-1,t^{2}+1\right),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${}F(x,y)=\left(xy^{2}-x,\,2xy-y^{2}\right)\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme ein Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}7&-1\\-5&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die partielle Ableitung nach ${}w$ der Funktion

${}{\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&={\frac {-uv}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\cos \left(z-x\right)+2xw+4x^{5}zu^{9}+{\sqrt[{2}]{u^{2}+v^{2}+1}}\\\,\end{aligned}}$

Aufgabe * (6 (2+1+3) Punkte)

Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ gegeben ist. Der Ball (bzw. der ballführende Spieler) befindet sich in der variablen Position ${}(x,y)$. Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel (Torschusswinkel) ab, der das Dreieck ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$ im Punkt ${}(x,y)$ besitzt (man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt).

1. Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition ${}(x,y)$.
2. Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich ${}90$ Grad ist.
3. In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?

Aufgabe * (10 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion

$f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{x}}\right).$

1. Bestimme das totale Differential zu ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
2. Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$.
3. Wie kann man das Ergebnis aus (2) ohne Rechnung erklären?

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei ${}t\in I$ ein Punkt mit ${}\gamma '(t)\neq 0$. Zeige auf zweifache Weise, dass es ein offenes Intervall ${}t\in J\subseteq I$ derart gibt, dass ${}\gamma {|}_{J}$ injektiv ist.

1. Mit dem Satz über die injektive Abbildung.
2. Direkt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine wachsende Funktion. Zeige, dass der Subgraph

${}S={\left\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\,0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$

sternförmig ist.