Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 4 3 7 8 4 5 4 4 4 2 8 3 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Relation zwischen den Mengen und .
  2. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  3. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  4. Ein lokales Maximum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  5. Die Summierbarkeit einer Familie , , komplexer Zahlen.
  6. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  7. Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

    auf einer offenen Menge in einem Punkt .

  8. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
    wobei eine Teilmenge ist.
  4. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass es stetige Funktionen

mit derart gibt, dass für alle weder noch die Nullfunktion ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten das Polynom

Bestimme die -Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an im Punkt mit dem Graphen von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe * (4 Punkte)

Die beiden lokalen Extrema der Funktion

definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe * (8 (4+1+3) Punkte)

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

b) Bestimme eine Stammfunktion von

c) Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe (3 Punkte)

Nach Satz 13.1

Nach dem Zwischenwertsatz


 

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