Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 4 | 4 | 4 | 3 | 7 | 8 | 4 | 5 | 4 | 4 | 4 | 2 | 8 | 3 | 64 |
Aufgabe * (4 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Relation zwischen den Mengen und .
- Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
- Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
- Ein lokales Maximum einer Funktion
( eine Teilmenge) in einem Punkt .
- Die Summierbarkeit einer Familie , , komplexer Zahlen.
- Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
- Die
Taylor-Reihe
zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
auf einer offenen Menge in einem Punkt .
- Eine
ortsunabhängige
gewöhnliche Differentialgleichung
Aufgabe (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
- Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
- Der
Satz über die stetige Fortsetzbarkeit
einer Funktion
- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass
genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .
Aufgabe * (8 Punkte)
Zeige, dass es stetige Funktionen
mit derart gibt, dass für alle weder noch die Nullfunktion ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Wir betrachten das Polynom
Bestimme die -Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an im Punkt mit dem Graphen von .
Aufgabe * (5 Punkte)
Wir betrachten die durch
definierte Funktion
Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
gegen konvergiert.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme für die Funktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion im Entwicklungspunkt der Ordnung .
Aufgabe * (4 Punkte)
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
über .
Aufgabe * (8 (4+1+3) Punkte)
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
b) Bestimme eine Stammfunktion von
c) Bestimme eine Stammfunktion von
Aufgabe (3 Punkte)