Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 3/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 3.1 ändern

Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in ${}\mathbb {Z}$, dass die durch

1. ${\frac {a}{c}}\cdot {\frac {b}{d}}:={\frac {ab}{cd}}$

2. ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{d}}:={\frac {ad+bc}{cd}}$

definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei ${}z$ und ${}w$ nicht ${}0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${}{\frac {x}{1}}=x\,,$

2. ${}{\frac {1}{z}}=z^{-1}\,,$

3. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

4. ${}{\frac {0}{z}}=0\,,$

5. ${}{\frac {z}{z}}=1\,,$

6. ${}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$

7. ${}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$

8. ${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation (und die Subtraktion mit der Division) vertauscht, also

${}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$

nicht gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

${}a+(bc)=(a+b)\cdot (a+c)\,,$

nicht gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

$\{G,U\}$

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die einelementige Menge ${}\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ${}0=1$ ist.

Aufgabe Aufgabe 3.6 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement ${}n_{K}$ zuordnen kann, derart, dass ${}0_{K}$ das Nullelement in ${}K$ und ${}1_{K}$ das Einselement in ${}K$ ist und dass

${}(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}\,$

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

$(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}$

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere den Graphen der reellen Addition

$+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und den Graphen der reellen Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$, liegen unter einer Palme, ${}A$ besitzt ${}2$ Fladenbrote und ${}B$ besitzt ${}3$ Fladenbrote. Eine dritte Person ${}C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber ${}5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die ${}5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt ${}C$ an ${}A$ und an ${}B$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?

Aufgabe * Aufgabe 3.11 ändern

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,.$

Aufgabe * Aufgabe 3.14 ändern

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass für ${}n\geq 10$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{4}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige für einen Körper ${}K$ die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ${}a\in K$ ist die Abbildung

$\alpha _{a}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x+a,$

bijektiv.

(2) Für jedes ${}b\in K$, ${}b\neq 0$, ist die Abbildung

$\mu _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto bx,$

bijektiv.

Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 3.17 ändern

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die „Rechenregel“

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}\,$

bei ${}a,c\in \mathbb {N} _{+}$ (und ${}b,d,b+d\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit ${}a,b,c,d,b+d\neq 0$, wo diese Regel gilt.

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 3.19 ändern

Wir betrachten die Menge

${}K=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ={\left\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

$0=(0,0){\text{ und }}1=(1,0),$

der Addition

${}(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)\,$

und der Multiplikation

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,.$

Zeige, dass ${}K$ mit diesen Operationen ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

${}n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,.$